$f^{\prime }(x_0)$ bei linearen Funktionen

Aufgabe 1

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x)=2x+1$.

Zum Herunterladen: ableitung6.ggb

Warum erhält man für diese Funktion die Formel $f^{\prime }(x_0)=2$? Das bedeutet ja, dass die Ableitung an jeder beliebigen Stelle immer gleich groß ist, nämlich 2. Begründe das mithilfe der folgenden Zusammenhänge.

• $f^{\prime }(x_0)$ erhält man, indem man die mittlere Änderungsrate $m(x_0,x_0+h)={\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$ bestimmt - und das für immer kleinere Schrittweiten $h$, die sich der $0$ annähern.
• $f^{\prime }(x_0)$ kann man geometrisch als Steigung von Graph $f$ im Punkt $P(x_0|f(x_0))$ deuten.

Aufgabe 2

Betrachte eine beliebige lineare Funktion $f$ mit $f(x)=mx+b$.

Gib eine Formel für $f^{\prime }(x_0)$ an. Überprüfe die Formel anhand von Beispielen mit Hilfe des Applets.

Aufgabe 3

Betrachte eine beliebige konstante Funktion $f$ mit $f(x)=c$ (wobei $c$ hier für eine beliebige reelle Zahl steht).

Gib eine Formel für $f^{\prime }(x_0)$ an. Überprüfe die Formel anhand von Beispielen mit Hilfe des Applets.