Überprüfung - Ableitung an einer Stelle
Aufgabe 1
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^2 + 1$.
Zum Herunterladen: ableitung7.ggb
(a) Welche Ableitungswerte sind plausibel, welche eher nicht?
- $f'(0) = 1$
- $f'(1) = 0$
- $f'(-0.5) = 1$
- $f'(0.5) = 1$
(b) Schätze $f'(1)$ geometrisch ab.
(c) Schätze $f'(1)$ mit Hilfe einer mittleren Änderungsrate ab.
Zur Kontrolle:
(a)
- $f'(0) = 1$: nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P(0|1)$ den Wert $0$ haben müsste
- $f'(1) = 0$: nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P(1|0)$ einen negativen Wert hat
- $f'(-0.5) = 1$: plausibel
- $f'(0.5) = 1$: nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P(0.5|...)$ einen negativen Wert hat
(b)
Wenn man eine Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(1|0)$ zeichnet, dann hat diese Tangente (in etwa) sie Steigung $m = -2$.
Dieser Wert entspricht dann der Steigung des Graphen im Punkt $P$ und liefert auch die Ableitung $f'(1)$.
(c)
Für $h = 0.01$ erhält man $m(1,1 + 0.01) = \displaystyle{\frac{f(1.01)-f(1)}{0.01}} = \displaystyle{\frac{-0.0201-0}{0.01}} = -2.01$. Also $f'(1) \approx -2$.
