Strukturierung - Differenzierbarkeit
Einstieg - Orientierung
Im Kapitel Ableitung an einer Stelle wurde ein Verfahren entwickelt, mit denen man die Ableitung
Erarbeitung - eine Funktion mit einem Knick
im Graphen untersuchen
Wir knüpfen an die Untersuchungen zum Fallschirmsprung an und betrachten eine Ausgangsfunktion, die analog zur Zeit-Weg-Funktion eines Fallschirmsprungs aufgebaut ist und einen Knick
im Funktionsgraphen aufweist. Genau dieser Knickpunkt
soll jetzt genauer untersucht werden.
Anleitung für das Applet
- Vorgegeben ist eine Funktion
und eine Stelle . Diese Vorgaben kann man abändern, indem man andere Einträge in den entsprechenden Eingabefeldern macht. - Passend zur Stelle
ist der Punkt auf Graph hervorgehoben. Dieser Punkt befindet sich genau auf demKnick
. - Mit dem Schieberegler
kann man einen weiteren Punkt auf dem Funktionsgraphen einstellen. Beide Punkte – und – legen eine (grün dargestellte) Sekante fest. Die Steigung dieser Sekante wird jeweils angezeigt. - Das blau dargestellte Geradenstück soll dazu diesen, die Steigung von Graph
im Punkt zu veranschaulichen – wenn das denn hier möglich ist. Dieses Geradenstück kann man mit dem Ankerpunkt selbst ausrichten.
Zum Herunterladen: ableitung2.ggb
Aufgabe 1
(a) Betrachte zunächst positive
(b) Betrachte jetzt negative
(c) Erläutere die Schwierigkeit, die sich ergibt, wenn man abschließend das blaue Geradenstück so ausrichten will, dass es die Steigung von Graph
Aufgabe 2
Mit dem folgenden Applet kannst du den Knick
im Funktionsgraphen genauer untersuchen. Vergrößere mit der [+]-Taste den Ausschnitt um den Punkt
Zum Herunterladen: funktionenmikroskop2.ggb
Vertiefung - einen neuen Begriff einführen
Ein Knick
im Funktionsgraph führt dazu, dass man die Steigung der Funktion in diesem Punkt – und somit auch die Ableitung an der zugehörigen Stelle – nicht bestimmen kann. Wir führen jetzt einen Begriff ein, um solche problematischen Stellen auszuschließen.
Differenzierbarkeit einer Funktion (an einer Stelle)
Eine Funktion
Eine Funktion
Die Existenz eines Grenzwerts bedeutet, dass die Sekantensteigungen für beliebige Annäherungen Knick
im Funktionsgraphen gehört also immer zu einer Stelle, an der die Funktion nicht differenzierbar ist.
Beachte: Nur wenn die Funktion
Differenzierbarkeit an einer Stelle ist also immer die Grundvoraussetzung dafür, die Ableitung an dieser Stelle zu bilden.
Wichtige Info
Wir setzen in den weiteren Kapiteln immer die Differenzierbarkeit der betrachteten Funktion voraus, wenn wir ihre Ableitungen bilden.