Prognose mit $f^{\prime }(x_0)$

Aufgabe 1

Der aktuelle Wasserstand eines Flusses wird mit einer Funktion $f$ beschrieben. $f(x)$ beschreibt dabei die Pegelhöhe zum Zeitpunkt $x$.

Bei drohendem Hochwasser kennt man folgende Werte:

• $f(0)$: die momentane Pegelhöhe
  Beispiel: $f(0)=8.7$ [in Meter]
• $f^{\prime }(0)$: die momentane Änderungsrate der Pegelhöhe
  Beispiel: $f^{\prime }(0)=0.2$ [in Meter pro Tag]

(a) Begründe: Mit diesen Daten kann man keine langfristige Prognose (z.B. über mehrere Tage) erstellen.

(b) Begründe: Eine kurzfristige Prognose (z.B. für die nächste Stunde) ist dagegen möglich. Erstelle die Prognose für die nächste Stunde.

Aufgabe 2

Betrachte das Wachstum einer Population. Man weiß nur so viel:

• $f(0)=6.5$ [Millionen]:
  Aktuell (zum Zeitpunkt $0$) beträgt der Populationswert $6.5$ Millionen.
• $f^{\prime }(0)=0.2$ [Millionen pro Jahr]:
  Die aktuelle momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Population beträgt $0.2$ Millionen pro Jahr.

Schätze mit diesen Daten die Populationsgröße am Folgetag (zum aktuellen Tag) ab.