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Vertiefung

Zur Orientierung

Hier geht es weiter um diese Fragestellung:

Leitfrage

Wie kann man die Ableitung $f^{'} (x_{0})$ einer Funktion $f$ an der Stelle $x_{0}$ geometrisch deuten?

Im letzten Abschnitt haben wir die Entwicklung der mittleren Änderungsraten $m (x_{0}, x_{0} + h)$ für $h \to 0$ untersucht und dabei die entstehende Situation an der Stelle $x_{0}$ aus nächster Nähe mit einem Funktionenmikroskop betrachtet. Hier betrachten wird dieselbe Situation noch einmal, aber eher von weitem mit einem Fernrohr.

Die Steigung eines Funktionsgraphen untersuchen

Wir nutzen jetzt das folgende Applet.

Anleitung für das Applet

Im Applet kann man die Funktion selbst festlegen. Hierzu gibt man den Funktionsterm im entsprechenden Eingabefenster ein.
Die betrachtete Stelle $x_{0}$ kann man ebenfalls mit einer geeigneten Eingabe selbst festlegen.
Die Schrittweite $h$ wird mit dem Schieberegler eingestellt. Beachte, dass man positive und auch negative Schrittweiten wählen kann.
Mit Hilfe der Stelle $x_{0}$ und der Schrittweite $h$ werden die beiden Punkte $P (x_{0} | f (x_{0}))$ und $Q (x_{0} + h | f (x_{0} + h))$ auf Graph $f$ festgelegt.
Angezeigt wird die Sekante $s$ durch die beiden Punkte $P$ und $Q$ . Die Steigung dieser Sekante entspricht der mittleren Änderungsrate $m (x_{0}, x_{0} + h)$ .

Zum Herunterladen: ableitung1.ggb

Aufgabe 1

Betrachte die voreingestellte Funktion $f (x) = x^{2}$ und die voreingestellte Stelle $x_{0} = 0.5$ . Führe den Grenzprozess $h \to 0$ mit dem Schieberegler durch.

(a) Begründe, warum im Grenzfall $h = 0$ die (grün eingefärbte) Sekante verschwindet.

(b) Statt der Sekante erscheint im Grenzfall $h = 0$ eine (blau eingefärbte) Gerade $t$ . Begründe, dass diese Gerade $t$ die Steigung $f^{'} (x_{0})$ – also dieselbe Steigung wie Graph $f$ im Punkt $P$ – hat.

Den Tangentenbegriff verallgemeinern

Eine Tangente ist in der Geometrie eine Gerade, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Genau diese Situation liegt auch im Grenzfall im oben betrachteten Beispiel vor: Die Gerade $t$ berührt Graph $f$ im Punkt $P$ .

Wir nutzen diese Beobachtung, um den Tangentenbegriff bei Funktionsgraphen festzulegen.

Tangente an einen Funktionsgraphen

Die Tangente an einen Funktionsgraphen durch den Punkt $P$ des Funktionsgraphen ist die Gerade, die dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph im Punkt $P$ hat.

Aufgabe 2

Erläutere und erkläre die in der folgenden Tabelle dargestellten Zusammenhänge.

Grenzprozess	inhaltliche Deutung	geometrische Deutung
$\begin{array}{ccl} m (x_{0}, x_{0} + h) \\ ↓ & h \to 0 \\ f^{'} (x_{0}) \end{array}$	$\begin{array}{ccl} mittlere Änderungsrate \\ ↓ & Schrittweite \to 0 \\ lokale Änderungsrate \end{array}$	$\begin{array}{ccl} Steigung der Sekante durch P und Q \\ ↓ & Q \to P \\ Steigung der Tangente an Graph f \\ durch den Punkt P \end{array}$

Aufgabe 3

Ergänze abschließend den folgenden Satz über die geometrische Deutung der Ableitung.

Geometrische Deutung der Ableitung

Die Ableitung $f^{'} (x_{0})$ kann man geometrisch als ... deuten.

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