Zusammenfassung - Der Ableitungsbegriff

Die Grundidee

Mit der Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ einer Funktion $f$ beschreibt man die lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle $x_0$.

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Eine mathematische Beschreibung dieses Grenzprozesses

Die Ableitung lässt sich wie folgt mathematisch präzisieren.

Die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ erhält man durch einen Grenzprozess für die mittlere Änderungsrate $m(x_0,x_0+h)$, bei dem die Schrittweite $h$ gegen $0$ geht.

Für solche Grenzprozesse nutzt man in der Mathematik die Limes-Schreibweise:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$

Diese Schreibweise bedeutet:

Die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ ist der Grenzwert ("Limes"), den man erhält, wenn man für die mittlere Änderungsrate ${\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$ die Schrittweite $h$ gegen $0$ gehen lässt.

Geometrische Deutung der Ableitung

Die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ beschreibt die lokale Änderungsrate der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$. Man erhält sie als Grenzwert von mittleren Änderungsraten, wenn die Schrittweite gegen $0$ geht.

Die mittleren Änderungsraten kann man geometrisch als Steigungen von Sekanten deuten. Im Applet oben sind diese Sekanten als grün gestrichelte Geraden dargestellt.

Wenn man die Schrittweite $h$ gegen $0$ gehen lässt, dann stabilisieren sich die Sekantensteigungen und liefern einen Zahl, die wir als Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle $x_0$ (bzw. dem zugehörigen Punkt $P(x_0|f(x_0))$) ansehen können. Diese Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$ ist im Applet mit einem blauen Geradenstück angedeutet.

Wir nutzen also denselben Grenzprozess, um die Ableitung einer Funktion an einer Stelle bzw. die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt zu bestimmen.

Es ergibt sich folgende geometrische Deutung der Ableitung.

Tangenten an einen Funktionsgraphen

Wenn man im Applet oben die Schrittweite $h=0$ einstellt, dann fällt Punkt $Q$ genau auf Punkt $P$. Die beiden Punkte legen dann keine Sekante mehr fest.

Statt der Sekante erscheint im Applet im Grenzfall $h=0$ eine (blau eingefärbte) Gerade $t$. Diese Gerade $t$ hat die Steigung $f^{\prime }(x_0)$ – also dieselbe Steigung wie Graph $f$ im Punkt $P$. Sie berührt Graph $f$ im Punkt $P$ und wird daher als Tangente an Graph $f$ angesehen.

Man kann die Ableitung also auch wie folgt geometrisch deuten.

Die Übersicht verdeutlicht auch diesen Zusammenhang.