Tangenten an einen Funktionsgraphen

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$.
Gesucht ist eine Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(1|1)$.

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Mit den Punkten $A$ und $B$ kannst du die Lage der Geraden $t$ verändern. Beachte, dass das Applet so eingestellt ist, dass die beiden Punkte $A$ und $B$ nur ganzzahlige Koordinaten haben können.

Positioniere die Punkte $A$ und $B$ so, dass die Gerade $t$ den Funktionsgraph $f$ im Punkt $P$ berührt - dass also $t$ eine Tangente an Graph $f$ durch $P$ darstellt. Kontrolliere, indem du den Graph um $P$ stark vergrößerst.

Blende ggf. die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ an der Stelle $x_0=1$ ein.

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{12}(x+2)(x+1)(x-5)$.
Gesucht ist eine Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(2|3)$.

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Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{12}{x}^3+x+2$.
Gesucht ist eine Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(0|2)$.

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Aufgabe 4

(a) F. behauptet. "Eine Tangente an einen Funktiosgraph hat nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Funktionsgraph." Stimmt das?

(b) G. behauptet. "Die Tangente an Graph $f$ durch einen Punkt $P$ darf den Graph im Punkt $P$ nicht schneiden." Stimmt das?

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{12}{x}^3+x+2$.
Gesucht ist $x_0$ mit $f^{\prime }(x_0)=0.75$.

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Schätze die gesuchten $x_0$-Werte mit Hilfe des Applets (so gut wie hier möglich) ab.