Die Integralschreibweise
Grenzwerte von Produktsummen bilden (Sicherung)
Für das Integral einer Funktion $f$ über einem Intervall $a \leq x \leq b$ wird eine besondere Schreibweise benutzt:
Zum Herunterladen: unterobersumme5.ggb
Bei der Bestimmung eines Integrals biete sich folgende Vorgehensweise an:
- Das Intervall $\:[a;b]\:$ wird in $\: n \:$ äquidistante Teilintervalle unterteilt. Die Stufenbreite beträgt dann $\: \Delta x = \frac{b-a}{n}$.
- Für die Untersumme werden die Stellen $\: \underline{x_1}, \dots, \underline{x_n}\:$ so bestimmt, dass $\:x_i=\min \{f(x)|x\in [x_i\: ;\: x_{i+1}]\}$, $\: i=1, \dots ,n$.
- Für die Obersumme werden die Stellen $\: \overline{x_1}, \dots, \overline{x_n}\:$ so bestimmt, dass $\:x_i=\max \{f(x)|x\in [x_i\: ;\: x_{i+1}]\}$, $\: i=1, \dots ,n$.
- Für die Untersumme gilt dann: $\: U_n = f(\underline{x_1}) \cdot \Delta x + \dots + f(\underline{x_n}) \cdot \Delta x\:$ mit Stufenbreite $\: \Delta x\:$ und Stufenhöhe $f(\underline{x_i})$.
- Für die Obersumme gilt dann: $\: O_n = f(\overline{x_1}) \cdot \Delta x + \dots + f(\overline{x_n}) \cdot \Delta x\:$ mit Stufenbreite $\: \Delta x\:$ und Stufenhöhe $f(\overline{x_i})$.
- Bilden der Grenzwerte von $\: U_n\:$ und $\:O_n\:$ für $\:n \rightarrow \infty$. Wenn sie gleich sind, dann liefern sie das Integral $I_a(b)$.
- Überprüfen, ob $\:\lim\limits_{n \to \infty}U_n=\lim\limits_{n \to \infty}O_n$.
- Falls ja, ist das $\:I_a(b)$.
Das Integral ist demnach der Grenzwert von Summen der Gestalt $\sum\limits_{i=0}^{n} f(x)\cdot \Delta x$ mit $f(x)$ Stufenhöhe und $\Delta x$ Stufenbreite. Dafür wird das Integralzeichen $\int$ (Abkürzung für Summen), welches auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurückgeht verwendet. Außerdem wird $dx$ für $\Delta x$ verwendet. Schreibweise: $I_a(b)=\int_{a}^{b} f(x)\: dx$.
Hier noch einmal eine Gesamtübersicht über das Integral als Grenzwert von Produktsummen:
$\begin{array}{lll} O_n & = & f(\overline{x_1})\Delta x + \dots + f(\overline{x_n})\Delta x \\ & \downarrow & n \rightarrow \infty \\ I_a(b) & = & \int\limits_a^b f(x) dx \\ & \uparrow & n \rightarrow \infty \\ U_n & = & f(\underline{x_1})\Delta x + \dots + f(\underline{x_n})\Delta x \end{array}$
