Die Integralschreibweise

Grenzwerte von Produktsummen bilden (Sicherung)

Für das Integral einer Funktion $f$ über einem Intervall $a\le x\le b$ wird eine besondere Schreibweise benutzt:

Zum Herunterladen: unterobersumme5.ggb

Bei der Bestimmung eines Integrals biete sich folgende Vorgehensweise an:

1. Das Intervall $[a;b]$ wird in $n$ äquidistante Teilintervalle unterteilt. Die Stufenbreite beträgt dann $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$.
2. Für die Untersumme werden die Stellen $\underset{―}{x_1},\dots ,\underset{―}{x_n}$ so bestimmt, dass $x_i=min\{f(x)|x\in [x_i;x_{i+1}]\}$, $i=1,\dots ,n$.
3. Für die Obersumme werden die Stellen $\overline{x_1},\dots ,\overline{x_n}$ so bestimmt, dass $x_i=max\{f(x)|x\in [x_i;x_{i+1}]\}$, $i=1,\dots ,n$.
4. Für die Untersumme gilt dann: $U_n=f(\underset{―}{x_1})\cdot \mathrm{\Delta }x+\cdots +f(\underset{―}{x_n})\cdot \mathrm{\Delta }x$ mit Stufenbreite $\mathrm{\Delta }x$ und Stufenhöhe $f(\underset{―}{x_i})$.
5. Für die Obersumme gilt dann: $O_n=f(\overline{x_1})\cdot \mathrm{\Delta }x+\cdots +f(\overline{x_n})\cdot \mathrm{\Delta }x$ mit Stufenbreite $\mathrm{\Delta }x$ und Stufenhöhe $f(\overline{x_i})$.
6. Bilden der Grenzwerte von $U_n$ und $O_n$ für $n\to \mathrm{\infty }$. Wenn sie gleich sind, dann liefern sie das Integral $I_a(b)$.
7. Überprüfen, ob $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{U}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{O}_n$.
8. Falls ja, ist das $I_a(b)$.

Hier noch einmal eine Gesamtübersicht über das Integral als Grenzwert von Produktsummen: