Einstieg
Ein Beispiel analysieren
In der Abbildung wird verdeutlicht, wie man eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ bestimmt.
Aufgabe 1
Beschreibe das Vorgehen bei der Bestimmung einer Stammfunktion zur Ausgangsfunktion. Kläre dabei folgende Fragen:
- Welche Struktur haben die Basisfunktionen in den rot dargestellten Kästen? Wie erhält man Stammfunktionen zu diesen Basisfunktionen?
- Welche Einfluss haben die (grün dargestellten) Vorfaktoren der Basisfunktionen auf die Bestimmung einer Stammfunktion zur Ausgangsfunktion?
- Welche Einfluss haben die (blau dargestellten) Rechenoperationen $+$ und $-$ auf die Bestimmung einer Stammfunktion zur Ausgangsfunktion?
Regeln formulieren
Das in der Abbildung verdeutlichte Vorgehen zur Bestimmung einer Stammfunktion lässt sich verallgemeinernd mit Regeln beschreiben.
Aufgabe 2
Ergänze in den folgenden Regeln die (mit $\dots$ gekennzeichneten) fehlenden Teile.
Stammfunktionen von Potenzfunktionen
$\begin{array}{lll} f(x) = x^n; n \in\mathbb{N} & & \\ \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ \\ f'(x) = nx^{n-1} & & \end{array}$ $\begin{array}{lll} F(x) = \dots& \\ \\ \uparrow \text{Aufleiten} & \\ \\ f(x) = x^n; n \in\mathbb{N} & & \end{array}$
Kurz: $\int x^n \; dx = \dots$
Summenregel für Stammfunktionen
$\begin{array}{lll} f(x) = u(x)+v(x) & & \\ \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ \\ f'(x) = u'(x)+v'(x) & & \end{array}$ $\begin{array}{lll} F(x) = \dots & \\ \\ \uparrow \text{Aufleiten:} \quad U'(x) = u(x); V'(x) = v(x)\\ \\ f(x) = u(x)+v(x) & & \end{array}$
Kurz: $\int u(x) + v(x) \; dx = \dots$
Faktorregel für Stammfunktionen
$\begin{array}{lll} f(x) = r \cdot u(x); r \in\mathbb{R} & & \\ \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ \\ f'(x) = r \cdot u'(x) & & \end{array}$ $\begin{array}{lll} F(x) = \dots& \\ \\ \uparrow \text{Aufleiten:} \quad U'(x) = u(x)\\ \\ f(x) = r \cdot u(x); r \in\mathbb{R} & & \end{array}$
Kurz: $\int r \cdot u(x) \; dx = \dots$
