Zusammenfassung – Uneigentliche Integrale

Flächenberechnungsprobleme

Wir betrachten Flächen, die ins Unendliche reichen. Die Übersicht zeigt zwei Situationen, in denen solche Flächen auftreten können. Mathematiker interessieren sich für den Flächeninhalt solcher ins Unendliche ragenden Flächenstücke.

Situation 1: Unbeschränkte $x$-Werte	Situation 2: Unbeschränkte Funktionswerte
Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x^2}$ für positive $x$-Werte. Der Graph begrenzt mit der $x$-Achse ab $x = 1$ ein Flächenstück, das ins Unendliche reicht.	Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ für positive $x$-Werte. Die Funktion $g$ ist an der Stelle $x = 0$ nicht definiert. Die Funktionswerte von $g$ werden für $x \rightarrow 0$ (mit $x > 0$) unendlich groß. Der Graph begrenzt mit der $y$-Achse bis $x = 1$ somit ein Flächenstück, das ins Unendliche reicht.

Flächenberechnung bei unbeschränkten $x$-Werten

Im Applet sind für zwei Funktionen Flächenstücke mit unbeschränkten $x$-Werten vorgegeben. Gesucht ist jeweils der Flächeninhalt $A$ dieser unendlich langen Flächenstücke.

Zum Herunterladen: uneigentlichesintegral2.ggb

Im Applet wird der Inhalt der Fläche unter dem betrachteten Funktionsgraph im Intervall $[1; b]$ angezeigt. Beachte, dass man den roten Punkt ⧫ zur Grenze $b$ auf der $x$-Achse bewegen kann. Wir bestimmen den gesuchten Flächeninhalt, indem wir die Grenze $b$ geben Unendlich streben lassen.

Situation 1: Funktion $f$	Situation 1: Funktion $g$
Mit der Stammfunktion $F(x) = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$ zur Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ erhält man: $A_{[1;b]} = \int\limits_{1}^{b} f(x) \; dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = -\frac{1}{b} + 1$	Mit der Stammfunktion $F(x) = 2x^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{x}$ zur Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ erhält man: $A_{[1;b]} = \int\limits_{1}^{b} g(x) \; dx = \left[ 2 \sqrt{x} \right]_1^b = 2 \sqrt{b} - 2 \sqrt{1} = 2 \sqrt{b} - 2$
Wenn man $b$ gegen Unendlich streben lässt, erhält man: $A = \lim\limits_{b \rightarrow \infty}{A_{[1;b]}} = 0+1 = 1$	Wenn man $b$ gegen Unendlich streben lässt, erhält man: $A = \lim\limits_{b \rightarrow \infty}{A_{[1;b]}} = \infty$

Flächenberechnung bei unbeschränkten Funktionswerten

Im Applet sind für zwei Funktionen Flächenstücke mit unbeschränkten Funktionswerten vorgegeben. Gesucht ist jeweils der Flächeninhalt $A$ dieser unendlich hohen Flächenstücke.

Zum Herunterladen: uneigentlichesintegral4.ggb

Im Applet wird der Inhalt der Fläche unter dem betrachteten Funktionsgraph im Intervall $[a; 1]$ angezeigt. Beachte, dass man den roten Punkt ⧫ zur Grenze $a$ auf der $x$-Achse bewegen kann. Wir bestimmen den gesuchten Flächeninhalt, indem wir die Grenze $a$ geben Null streben lassen.

Situation 2: Funktion $f$	Situation 2: Funktion $g$
Mit der Stammfunktion $F(x) = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$ zur Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ erhält man: $A_{[a;1]} = \int\limits_{a}^{1} f(x) \; dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_a^1 = -1 + \frac{1}{a}$	Mit der Stammfunktion $F(x) = 2x^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{x}$ zur Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ erhält man: $A_{[a;1]} = \int\limits_{a}^{1} g(x) \; dx = \left[ 2 \sqrt{x} \right]_a^1 = 2 - 2 \sqrt{a}$
Wenn man $a$ gegen Null streben lässt, erhält man: $A = \lim\limits_{a \rightarrow 0; a > 0}{A_{[a;1]}} = \infty$	Wenn man $a$ gegen Null streben lässt, erhält man: $A = \lim\limits_{a \rightarrow 0; a >0}{A_{[a;1]}} = 2$

Uneigentliche Integrale

Bei der Definition des Integrals haben wir bisher immer ein endliches Intervall $[a;b]$ betrachtet und vorausgesetzt, dass die betrachtete Funktion in diesem Intervall definiert ist.

Die Flächenberechnungsprobleme oben zeigen, dass es Situationen gibt, in denen man Integralberechnungen auch in Situationen durchführen möchte, in denen die Voraussetzungen für eine Integralberechnung nicht alle erfüllt sind. In solchen Fällen können uneigentliche Integrale weiterhelfen.