Erarbeitung

Ausgangsfunktion	Ableitungsfunktion
$f(x) = x^r$ ($r \in \mathbb{R}$)	$f'(x) = r \cdot x^{r-1}$
$f(x) = e^x$	$f'(x) = e^x$
$f(x) = \ln(x)$	$f'(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$
$f(x) = \sin(x)$	$f'(x) = \cos(x)$
$f(x) = \cos(x)$	$f'(x) = -\sin(x)$

Beliebige Potenzfunktionen

Aufgabe 1

In der folgenden Tabelle sammeln wir Stammfunktionen zu Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten. Ergänze in der Tabelle die Stammfunktionen. Besonders interessant ist dabei der Fall der Funktion $f(x) = x^{-1}$.

Ausgangsfunktion	Stammfunktion
$\dots$	$\dots$
$f(x) = x^{-3}$	$F(x) = $
$f(x) = x^{-2}$	$F(x) = $
$f(x) = x^{-1}$	$F(x) = $
$f(x) = x^{0}$	$F(x) = $
$f(x) = x^{1}$	$F(x) = $
$f(x) = x^{2}$	$F(x) = \frac{1}{3}x^3$
$f(x) = x^{3}$	$F(x) = $
$\dots$	$\dots$

Aufgabe 2

Betrachte exemplarisch weitere Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten. Ergänze passende Stammfunktionen in der Tabelle.

Ausgangsfunktion	Stammfunktion
$f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$	$F(x) = $
$f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$	$F(x) = $
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$	$F(x) = $

Trigonometrische Funktionen

Aufgabe 3

Ergänze in der Tabelle eine Stammfunktion zur $\sin$-Funktion und zur $\cos$-Funktion.

Ausgangsfunktion	Stammfunktion
$f(x) = \sin(x)$	$F(x) = $
$f(x) = \cos(x)$	$F(x) = $

e-Funktion und ln-Funktion

Aufgabe 4

Ergänze in der Tabelle eine Stammfunktion zur $e$-Funktion.

Ausgangsfunktion	Stammfunktion
$f(x) = e^x$	$F(x) = $
$f(x) = \ln(x)$	$F(x) = $

Aufgabe 5

Zur Herleitung einer Stammfunktion zur $\ln$-Funktion benutzen wir die im Applet gezeigten Zusammenhänge.

Zum Herunterladen: stammfunktion-ln.ggb

Mache dir anhand des Applet folgende Herleitung klar.

• Ziel ist es zunächst, eine Funktionsgleichung für die Integralfunktion $I_1$ herzuleiten.
• $I_1(x)$ beschreibt für $x \ge 1$ den Inhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ mit $f(x) = \ln(x)$ und der $x$-Achse von $1$ bis $x$.
• Denselben Flächeninhalt $A$ findet man spiegelbildlich zwischen Graph $g$ mit $g(x) = e^x$ und der $y$-Achse.
• Den Inhalt der gespiegelten Fläche kann man so bestimmen: Flächeninhalt des Rechtecks mit den Ecken $(0|0)$ und $Q$ minus Flächeninhalt der Fläche unter der e-Funktion von $0$ bis $\ln(x)$.
• Es gilt also: $A = \ln(x) \cdot x - \int\limits_{0}^{\ln(x)} e^x \; dx = \ln(x) \cdot x - (x - 1) = \ln(x) \cdot x - x + 1$.
• Für die Integralfunktion $I_1$ ergibt sich folgende Darstellung: $I_1(x) = \ln(x) \cdot x - x + 1$.
• Jede Stammfunktion $F$ zur Ausgangsfunktion $f$ unterscheidet sich von der Integralfunktion $I_1$ durch eine additive Konstante.
• Die Funktion $F(x) = \ln(x) \cdot x - x$ ist somit eine mögliche Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = \ln(x)$.