Vertiefung
Zur Orientierung
Bei der Definition des Integrals haben wir bisher immer ein endliches Intervall $[a;b]$ betrachtet und vorausgesetzt, dass die betrachtete Funktion in diesem Intervall definiert ist.
Die Flächenberechnungsprobleme im letzten Abschnitt zeigen, dass es Situationen gibt, in denen man Integralberechnungen auch in Situationen durchführen möchte, in denen die Voraussetzungen für eine Integralberechnung nicht alle erfüllt sind. In solchen Fällen können uneigentliche Integrale weiterhelfen.
Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale
Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, das wegen unendlicher Integrationsgrenzen oder einer Unendlichkeitsstelle der Funktion mithilfe eines Grenzwerts definiert werden muss. Nur wenn dieser Grenzwert endlich ist, besitzt das Integral einen Wert.
Beispiel 1:
Wenn $\lim\limits_{b \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx$ existiert, dann liefert dieser Grenzwert ein uneigentliches Integral
und man beschreibt dieses Integral mit $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x) \; dx$.
Beispiel 2:
Die Funktion ist an der Stelle $x = u$ nicht definiert.
Wenn $\lim\limits_{a \rightarrow u; a > u} \int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx$ existiert, dann liefert dieser Grenzwert ein uneigentliches Integral
und man beschreibt dieses Integral mit $\int\limits_{u}^{b} f(x) \; dx$.
Aufgabe 1
Im der folgenden Übersicht werden verschiedene Situationen dargestellt, in denen man uneigentliche Integrale verwendet. Beachte, dass mit $x = u$ eine Stelle bezeichnet wird, an der die betrachtete Funktion $f$ nicht definiert ist. Verdeutliche und erkläre die Festlegungen der uneigentlichen Integrale im Applet unter der Übersicht.
| Situation | uneigentliches Integral | Festlegung (falls die Grenzwerte existieren) | |
|---|---|---|---|
| 1 | $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x) \; dx$ | $=$ | $\lim\limits_{b \rightarrow + \infty} \left( \int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx \right)$ |
| 2 | $\int\limits_{-\infty}^{b} f(x) \; dx$ | $=$ | $\lim\limits_{a \rightarrow -\infty} \left( \int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx \right)$ |
| 3 | $\int\limits_{u}^{b} f(x) \; dx$ | $=$ | $\lim\limits_{a \rightarrow u; a > u} \left( \int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx \right)$ |
| 4 | $\int\limits_{a}^{u} f(x) \; dx$ | $=$ | $\lim\limits_{b \rightarrow u; b \lt u} \left( \int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx \right)$ |
| 5 | $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \; dx$ | $=$ | $\lim\limits_{a \rightarrow -\infty} \left( \int\limits_{a}^{z} f(x) \; dx \right) + \lim\limits_{b \rightarrow + \infty} \left( \int\limits_{z}^{b} f(x) \; dx \right)$ |
| 6 | $\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx$ | $=$ | $\lim\limits_{c \rightarrow u; c \lt u} \left( \int\limits_{a}^{c} f(x) \; dx \right) + \lim\limits_{d \rightarrow u; d > u} \left( \int\limits_{d}^{b} f(x) \; dx \right)$ |
Zum Herunterladen: uneigentlichesintegral4.ggb
