Vertiefung
Zur Orientierung
Zur Vertiefung betrachten wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Mittlere Funktionswerte
Im letzten Abschnitt hast du den Mittelwert einer Funktion in einem Intervall betrachtet. Es gilt:
$\overline{f}_{[a;b]} = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b f(x) \; dx$
In diesem Abschnitt geht es um folgende Frage: Entspricht dieser Mittelwert einem Funktionswert der Funktion im betrachteten Intervall? D.h., gibt es eine Stelle $z$ im Intervall $[a; b]$ mit folgender Eigenschaft:
$\overline{f}_{[a;b]} = f(z)$ (mit mit $a \le z \le b$)?
Bearbeite zur Klärung die folgenden Aufgaben.
Aufgabe 1
Betrachte die im Applet unten vorgegebene Funktion $f$. Auf der $x$-Achse sind zwei Stellen $a$ und $b$ mit beweglichen roten Punkten $\color{red}\blacklozenge$ markiert. Diese legen das betrachtete Intervall fest. Untersuche experimentell folgende Frage:
Gibt es eine Stelle $z$ im Intervall $[a; b]$, so dass der Funktionswert $f(z)$ (mit einer Hilfsfunktion $g$) folgende Eigenschaft festlegt:
$\underbrace{\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx}_{I_f} = (b - a) \cdot f(z) = \underbrace{\int\limits_{a}^{b} g(x) \; dx}_{I_g}$
Um das herauszufinden, bewege den Punkt $\color{#7D7DFF}\blacklozenge$ M auf Graph $f$ an eine passende Stelle.
Zum Herunterladen: mittelwertsatz1.ggb
Aufgabe 2
Betrachte die im Applet unten vorgegebene Funktion $f$. Untersuche dieselbe Fragestellung wie in Aufgabe 1. Erkläre, woran es liegt, dass man bei dieser Funktion keine Stelle $z$ mit der gesuchten Eigenschaft finden kann.
Zum Herunterladen: mittelwertsatz2.ggb
Aufgabe 3
Erläutere, wie die Ergebnisse der vorangehenden Aufgaben mit folgendem Satz zusammenhängen.
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Betrachte eine Randfunktion $f$, die in einem Intervall $a \le x \le b$ keine Sprungstellen
hat (bzw. in diesem Intervall stetig ist).
Dann gibt es eine Zwischenstelle $z$ in diesem Intervall (d.h. $a \le z \le b$), so dass der Mittelwert der Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$
dem Funktionswert von $f$ an der Stelle $z$ entspricht:
$\overline{f}_{[a;b]} = f(z)$.
Den Funktionswert $f(z)$ kann man als mittleren Funktionswert
im Intervall $[a; b]$ ansehen.
