Zusammenfassung – Bestimmung von Stammfunktionen
Analyse eines Beispiels
In der Abbildung wird verdeutlicht, wie man eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ bestimmt.
In der Abbildung werden strukturelle Zusammenhänge zwischen der Ausgangsfunktion und einer zugehörigen Stammfunktion farblich gekennzeichnet:
- Die Basisfunktionen in der Ausgangsfunktion sind (die in den roten Kästen hervorgehobenen) Potenzfunktionen. Diese werden hier aufgeleitet.
- Die (grün dargestellten) Vorfaktoren der Basisfunktionen werden bei der Bestimmung einer Stammfunktion übernommen.
- Erhalten bleiben ebenfalls die (blau dargestellten) Rechenoperationen zur Verknüpfung der mit Vorzeichen versehenen Basisfunktionen.
Das in der Abbildung verdeutlichte Vorgehen zur Bestimmung einer Stammfunktion lässt sich verallgemeinernd mit Regeln beschreiben.
Wir listen die bereits im Kapitel Integralberechnung mit Stammfunktionen entwickelten Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen hier in Kurzform noch einmal auf.
Stammfunktionen von Potenzfunktionen
$\begin{array}{lll} f(x) = x^n; n \in\mathbb{N} & & \\ \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ \\ f'(x) = nx^{n-1} & & \end{array}$ $\begin{array}{lll} F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1}& \\ \\ \uparrow \text{Aufleiten} & \\ \\ f(x) = x^n; n \in\mathbb{N} & & \end{array}$
Kurz: $\int x^n \; dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c$
Summenregel für Stammfunktionen
$\begin{array}{lll} f(x) = u(x)+v(x) & & \\ \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ \\ f'(x) = u'(x)+v'(x) & & \end{array}$ $\begin{array}{lll} F(x) = U(x)+V(x) & \\ \\ \uparrow \text{Aufleiten:} \quad U'(x) = u(x); V'(x) = v(x)\\ \\ f(x) = u(x)+v(x) & & \end{array}$
Kurz: $\int u(x) + v(x) \; dx = \int u(x) \; dx + \int v(x) \; dx$
Faktorregel für Stammfunktionen
$\begin{array}{lll} f(x) = r \cdot u(x); r \in\mathbb{R} & & \\ \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ \\ f'(x) = r \cdot u'(x) & & \end{array}$ $\begin{array}{lll} F(x) = r \cdot U(x)& \\ \\ \uparrow \text{Aufleiten:} \quad U'(x) = u(x)\\ \\ f(x) = r \cdot u(x); r \in\mathbb{R} & & \end{array}$
Kurz: $\int r \cdot u(x) \; dx = r \cdot \int u(x) \; dx$
Bestimmung weiterer Stammfunktionen
Wir bestimmen hier Stammfunktionen zu weiteren Basisfunktionen. Der Ausgangspunkt ist die folgende Übersicht mit Ableitungen zu den wichtigsten Basisfunktionen.
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion |
|---|---|
| $f(x) = x^r$ ($r \in \mathbb{R}$) | $f'(x) = r \cdot x^{r-1}$ |
| $f(x) = e^x$ | $f'(x) = e^x$ |
| $f(x) = \ln(x)$ | $f'(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$ |
| $f(x) = \sin(x)$ | $f'(x) = \cos(x)$ |
| $f(x) = \cos(x)$ | $f'(x) = -\sin(x)$ |
Beliebige Potenzfunktionen
In der folgenden Tabelle sammeln wir Stammfunktionen zu Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten. Besonders interessant ist dabei der Fall der Funktion $f(x) = x^{-1}$. Die Stammfunktion zu dieser Potenzfunktion in die $\ln$-Funktion.
| Ausgangsfunktion | Stammfunktion |
|---|---|
| $\dots$ | $\dots$ |
| $f(x) = x^{-3}$ | $F(x) = \frac{1}{-2}x^{-2} = -\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}$ |
| $f(x) = x^{-2}$ | $F(x) = \frac{1}{-1}x^{-1} = -\frac{1}{x}$ |
| $f(x) = x^{-1}$ | $F(x) = \ln(x)$ |
| $f(x) = x^{0}$ | $F(x) = \frac{1}{1}x^1 = x$ |
| $f(x) = x^{1}$ | $F(x) = \frac{1}{2}x^2$ |
| $f(x) = x^{2}$ | $F(x) = \frac{1}{3}x^3$ |
| $f(x) = x^{3}$ | $F(x) = \frac{1}{4}x^4$ |
| $\dots$ | $\dots$ |
Mit der Potenzregel lassen sich auch Stammfunktionen zu Wurzelfunktionen bestimmen..
| Ausgangsfunktion | Stammfunktion |
|---|---|
| $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ | $F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$ |
| $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ | $F(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4} = \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x}$ |
| $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ | $F(x) = 2x^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{x}$ |
Trigonometrische Funktionen
Stammfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen erhält man direkt aus den zugehörigen Abvleitungsfunktionen.
| Ausgangsfunktion | Stammfunktion |
|---|---|
| $f(x) = \sin(x)$ | $F(x) = -\cos(x)$ |
| $f(x) = \cos(x)$ | $F(x) = \sin(x)$ |
e-Funktion und ln-Funktion
Eine Stammfunktion zur $e$-Funktion lässt sich direkt angeben.
| Ausgangsfunktion | Stammfunktion |
|---|---|
| $f(x) = e^x$ | $F(x) = e^x$ |
| $f(x) = \ln(x)$ | $F(x) = \ln(x) \cdot x - x$ |
Schwieriger ist die Herleitung einer Stammfunktion zur $\ln$-Funktion. Betrachte hierzu die im Applet gezeigten Zusammenhänge.
Zum Herunterladen: stammfunktion-ln.ggb
- Ziel ist es zunächst, eine Funktionsgleichung für die Integralfunktion $I_1$ herzuleiten.
- $I_1(x)$ beschreibt für $x \ge 1$ den Inhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ mit $f(x) = \ln(x)$ und der $x$-Achse von $1$ bis $x$.
- Denselben Flächeninhalt $A$ findet man spiegelbildlich zwischen Graph $g$ mit $g(x) = e^x$ und der $y$-Achse.
- Den Inhalt der gespiegelten Fläche kann man so bestimmen: Flächeninhalt des Rechtecks mit den Ecken $(0|0)$ und $Q$ minus Flächeninhalt der Fläche unter der e-Funktion von $0$ bis $\ln(x)$.
- Es gilt also: $A = \ln(x) \cdot x - \int\limits_{0}^{\ln(x)} e^x \; dx = \ln(x) \cdot x - (x - 1) = \ln(x) \cdot x - x + 1$.
- Für die Integralfunktion $I_1$ ergibt sich folgende Darstellung: $I_1(x) = \ln(x) \cdot x - x + 1$.
- Jede Stammfunktion $F$ zur Ausgangsfunktion $f$ unterscheidet sich von der Integralfunktion $I_1$ durch eine additive Konstante.
- Die Funktion $F(x) = \ln(x) \cdot x - x$ ist somit eine mögliche Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = \ln(x)$.
Kombination von Basisfunktionen
Wir betrachten jetzt komplexere Funktionen, bei denen Basisfunktionen miteinander verknüpft werden. In der folgenden Tabelle lassen sich in einigen Fällen Stammfunktionen zu den Ausgangsfunktionen mit den bekannten Regeln (Summenregel und Faktorregel) bestimmen. In den anderen Fällen ist das ohne Zusatzüberlegungen nicht möglich. Diese Fälle sind mit einem Fragezeichen gekennzeichnet und werden erst in den weiteren Kapiteln behandelt.
| Ausgangsfunktion | Stammfunktion |
|---|---|
| $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$ | $F(x) = -\cos(x) + \sin(x)$ |
| $f(x) = 2\sin(x)$ | $F(x) = -2\cos(x)$ |
| $f(x) = \sin(2x)$ | $F(x) = ?$ |
| $f(x) = x \cdot \sin(x)$ | $F(x) = ?$ |
| $f(x) = e^{x} - x$ | $F(x) = e^{x} - \frac{1}{2}x^2$ |
| $f(x) = x \cdot e^{x}$ | $F(x) = ?$ |
| $f(x) = \frac{1}{x} - 1$ | $F(x) = \ln(x) - x$ |
| $f(x) = \frac{1}{x-1}$ | $F(x) = ?$ |
