Wiederholung der Grundlagen

Integralfunktion als Stammfunktion

Grundlegend für die Integralberechnung mit Stammfunktionen ist der Zusammenhang zwischen vorgegebener Randfunktion und den zugehörigen Integralfunktionen. Die Übersicht verdeutlicht diesen Zusammenhang.

Aufgabe 1

Erläutere und erkläre die in der Übersicht dargestellten Zusammenhänge. Gehe dabei auf folgende Aspekte ein:

• Was erfasst man mit einer Integralfunktion?
• Was versteht man unter einer Stammfunktion?
• Wie erhält man aus einer Integralfunktion die zu Grunde liegende Randfunktion?
• Wie erhält man aus einer Randfunktion eine zugehörige Integralfunktion?

Berechnung von Integralen

Mit dem Zusammehang zwischen vorgegebener Randfunktion und den zugehörigen Integralfunktionen lässt sich ein Berechnungsverfashren für Integrale entwickeln. Die Übersicht zeigt das Vorgehen.

Aufgabe 2

(a) Verdeutliche das Berechnungsverfahren an folgenden Beispiel.

Betrachte die Randfunktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 1$. Bestimme das folgende Integral:

$\int\limits_{-1}^{2} x^2 - 1 \; dx = $

(b) Erläutere anhand des Beispiels:

Wenn man zu einer vorgegebenen Randfunktion eine Stammfunktion bestimmen kann, dann lassen sich Integrale zur Randfunktion mit Hilfe von Differenzen der Stammfunktion berechnen. Die Bestimmung von Stammfunktionen bildet also einen wichtigen Schlüssel zur Berechnung von Integralen.

Darstellung von Stammfunktionen

Die folgende Abbildung zeigt die gängigen Schreibweisen zur Darstellung von Stammfunktionen.

Aufgabe 3

Erläutere anhand des Beispiels in der Abbildung:

• Jede Funktion der Gestalt $F(x) = \frac{1}{3}x^3+c$ mit einer reellen Zahl $c$ ist eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f(x) = x^2$.
• Die Gesamtheit aller Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion $f(x) = x^2$ beschreibt man mit dem uneigentlichen Integral $\int x^2 \; dx$.