Vertiefung
Zur Orientierung
Wir verallgemeinern hier das Verfahren zur Bestimmung von Stammfunktionen durch Umkehrung der Kettenregel.
Die Kettenregel umkehren
Betrachte die in der Abbildung gezeigte Ausgangssituation.
Aufgabe 1
Verdeutliche den folgenden Satz am Beispiel in der Abbildung.
Stammfunktionen bei einer Verkettung
Betrachte eine Funktion $f$, die sich in der Form $f(x) = g(h(x)) \cdot h'(x)$ mit zwei Funktionen $g$ und $h$ darstellen lässt. Die Funktion $G$ sei eine Stammfunktion zur Funktion $g$.
Dann ist die Funktion $F(x) = G(h(x))$ eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$. Die Gesamtheit aller Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion $f$ kann man also so beschreiben:
$\int f(x) \; dx = \int g(h(x)) \cdot h'(x) \; dx = G(h(x)) + C$
Integrale mit der Substitutionsregel berechnen
Betrachte noch einmal die in der Abbildung gezeigte Ausgangssituation.
Aufgabe 2
(a) Bestimme das Integral:
$\int\limits_{0}^{2} e^{-x^2} \cdot (-2x) \; dx$
(b) Begründe:
$\int\limits_{0}^{2} e^{-x^2} \cdot (-2x) \; dx = \int\limits_{-0^2}^{-2^2} e^{x} \; dx$
(c) Erläutere die folgende Regel zur Integralberechnung.
Integralberechnung mit einer Substitution
Betrachte eine Funktion $f$, die sich in der Form $f(x) = g(h(x)) \cdot h'(x)$ mit zwei Funktionen $g$ und $h$ darstellen lässt. Dann gilt:
$\int\limits_{x_1}^{x_2} g(h(x)) \cdot h'(x) \; dx = \int\limits_{h(x_1)}^{h(x_2)} g(x) \; dx$
