Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten die Temperaturentwicklung wärend eines Tages. Ziel ist es, ein Verfahren zur Bestimmung der mittleren Temperatur zu entwickeln.
Ein Verfahren entwickeln
Der Funktionsgraph im Applet zeigt die Temperaturentwicklung während eines Tages.
Zum Herunterladen: mittleretemperatur1.ggb
Aufgabe 1
Blende mit dem Kontrollkästchen eine grobe Approximation zur Temperaturentwicklung ein. Den roten Punkt ⧫ auf der Zeit-Achse kann man hin und her bewegen. Deute den (blau eingefärbten) Graph der Treppenfunktion als vereinfachte Temperaturentwicklung.
- Im Zeitintervall von 0 bis 6 Uhr beträgt die Temperatur $11.2$ °C.
- Im Zeitintervall von 6 bis 12 Uhr beträgt die Temperatur ...
- ...
- ...
Aufgabe 2
(a) Betrachte den voreingestellten Wert $4$ für die Anzahl der (gleich breiten) Intervalle. In der folgenden Tabelle wird eine Produktsumme mit Temperaturwerten gebildet.
| Zeitintervall [h] | Temperatur [°C] | Temperatur x Dauer [°C] |
|---|---|---|
| $0 \le t \lt 6$ | $11.2$ | $11.2 \cdot 6$ |
| $6 \le t \lt 12$ | $15.8$ | $15.8 \cdot 6$ |
| $12 \le t \lt 18$ | $18.0$ | $18.0 \cdot 6$ |
| $18 \le t \lt 24$ | $14.7$ | $14.7 \cdot 6$ |
| Mittelwertberechnung | $\displaystyle{\frac{11.2 + \dots + 14.7}{4}}$ | $\displaystyle{\frac{11.2 \cdot 6 + \cdots + 14.7 \cdot 6}{24}}$ |
Erkläre, wie man mit einer Produktsummenbildung (in der 3. Spalte der Tabelle) die mittlere Temperatur zur (blau dargestellten) vereinfachten Temperaturentwicklung berechnen kann.
(b) Betrachte den Wert $6$ für die Anzahl der Intervalle. Berechne analog die mittlere Temperatur zur (blau dargestellten) vereinfachten Temperaturentwicklung mit einer Produktsumme.
Aufgabe 3
(a) Begründe: Wenn man die Anzahl der Intervalle erhöht, dann erhält man immer bessere Näherungswerte für die mittlere Temperatur des vorgegebenen (schwarz eingefärbten) Temperaturverlaufs.
(b) Mache einen Vorschlag, wie man die mittlere Temperatur des vorgegebenen (schwarz eingefärbten) Temperaturverlaufs mit einem Integral berechnen kann.
