(a) Ergänze die folgenden Sätze.

• Mit dieser Gleichung beschreibt man, wie man die Stammfunktionen der Produktfunktion $f(x) = x \cdot e^x$ bestimmen kann.
• Die Idee besteht darin, dass ein Produktintegral in ein einfacheres (direkt ausführbares) Integral umgewandelt wird.

(b) Erkläre, warum diese Gleichung gilt.

Dieser Gleichung liegt die Produktregel der Differentialrechnung zu Grunde:

$(\underbrace{x \cdot e^x}_{u(x) \cdot v(x)})' = \underbrace{1 \cdot e^x}_{u'(x) \cdot v(x)} + \underbrace{x \cdot e^x}_{u(x) \cdot v'(x)}$

Wenn man sie umkehrt und umstellt, erhält man:

$\int \underbrace{x \cdot e^x}_{u(x) \cdot v'(x)} \; dx = \underbrace{x \cdot e^x}_{u(x) \cdot v(x)} - \int \underbrace{1 \cdot e^x}_{u'(x) \cdot v(x)} \; dx$

(c) Beschreibe das Ergebnis, das man ausgehend von dieser Gleichung erhält.

Mit $\int 1 \cdot e^x \; dx = \int e^x \; dx = e^x + c$ erhält man:

$\int x \cdot e^x \; dx = x \cdot e^x - e^x - c$

Jede Funktion der Gestalt $F(x) = x \cdot e^x - e^x - c$ (mit einer reellen Zahl $c$) ist eine Stammfunktion von $f(x) = x \cdot e^x$.