Erarbeitung

Ein Verfahren zur Flächenberechnung entwickeln

Im Applet sind für zwei Funktionen Flächenstücke vorgegeben, die ins Unendliche reichen. Gesucht ist jeweils der Flächeninhalt $A$ dieser unendlich langen Flächenstücke. Bearbeite für beide Funktionen die Aufgabe unter dem Applet.

Zum Herunterladen: uneigentlichesintegral2.ggb

Aufgabe 1

(a) Im Applet wird der Inhalt der Fläche unter dem betrachteten Funktionsgraph im Intervall $[1; b]$ angezeigt. Die Grenze $b$ kann man dabei mit dem roten Punkt ⧫ variieren. Wähle selbst einen großen $b$-Wert und bestimme den Flächeninhalt $A_{[1;b]}$. Formuliere eine Vermutung zum gesuchten Flächeninhalt $A$.

(b) Entwickle eine Formel für $A_{[1;b]}$. Verwende die Formel, um den gesuchten Flächeninhalt $A$ zu bestimmen.

🔑 Zur Kontrolle

Situation 1: Funktion $f$	Situation 1: Funktion $g$
Mit der Stammfunktion $F(x) = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$ zur Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ erhält man: $A_{[1;b]} = \int\limits_{1}^{b} f(x) \; dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = -\frac{1}{b} + 1$	Mit der Stammfunktion $F(x) = 2x^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{x}$ zur Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ erhält man: $A_{[1;b]} = \int\limits_{1}^{b} g(x) \; dx = \left[ 2 \sqrt{x} \right]_1^b = 2 \sqrt{b} - 2 \sqrt{1} = 2 \sqrt{b} - 2$
Wenn man $b$ gegen Unendlich streben lässt, erhält man: $A = \lim\limits_{b \rightarrow \infty}{A_{[1;b]}} = 0+1 = 1$	Wenn man $b$ gegen Unendlich streben lässt, erhält man: $A = \lim\limits_{b \rightarrow \infty}{A_{[1;b]}} = \infty$

Das Verfahren auf eine ähnliche Situation übertragen

Ein unendlich ausgedehntes Flächenstück kann auch an einer Stelle auftreten, an der die betrachtete Funktion nicht definiert ist. Im Applet sind für zwei Funktionen solche Flächenstücke zu unbeschränkten Funktionswerten vorgegeben. Gesucht ist jeweils der Flächeninhalt $A$ dieser unendlich hohen Flächenstücke.

Zum Herunterladen: uneigentlichesintegral4.ggb

Im Applet wird der Inhalt der Fläche unter dem betrachteten Funktionsgraph im Intervall $[a; 1]$ angezeigt. Beachte, dass man den roten Punkt ⧫ zur Grenze $a$ auf der $x$-Achse bewegen kann. Wir bestimmen den gesuchten Flächeninhalt, indem wir die Grenze $a$ geben Null streben lassen.

Aufgabe 2

Gehe analog zum unendlich langen Flächenstück in Aufgabe 1 vor. Entwickle für beide Funktionen eine Formel für $A_{[a;1]}$. Verwende die Formel, um die gesuchten Flächeninhalte zu bestimmen.

🔑 Zur Kontrolle

Situation 2: Funktion $f$	Situation 2: Funktion $g$
Mit der Stammfunktion $F(x) = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$ zur Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ erhält man: $A_{[a;1]} = \int\limits_{a}^{1} f(x) \; dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_a^1 = -1 + \frac{1}{a}$	Mit der Stammfunktion $F(x) = 2x^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{x}$ zur Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ erhält man: $A_{[a;1]} = \int\limits_{a}^{1} g(x) \; dx = \left[ 2 \sqrt{x} \right]_a^1 = 2 - 2 \sqrt{a}$
Wenn man $a$ gegen Null streben lässt, erhält man: $A = \lim\limits_{a \rightarrow 0; a > 0}{A_{[a;1]}} = \infty$	Wenn man $a$ gegen Null streben lässt, erhält man: $A = \lim\limits_{a \rightarrow 0; a >0}{A_{[a;1]}} = 2$

Uneigentliche Integrale betrachten

Zur Bestimmung des Inhalts von Flächenstücken, die ins Unendliche reichen, haben wir Grenzwerte von Integralwerten gebildet.

$\int\limits_{a}^{+\infty} f(x) \; dx = \lim\limits_{b \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx$

Wenn ein solcher Grenzwert existiert, dann nennt man diesen Grenzwert uneigentliches Integral (zum Intervall $[a;+\infty[$).

Aufgabe 2

Benutze ein uneigentliches Integral, um den Inhalt des Flächenstücks, das nach links ins (Minus-) Unendliche reicht, zu bestimmen.

Zum Herunterladen: uneigentlichesintegral3.ggb