Zusammenfassung – Umkehrung der Produktregel
Zur Orientierung
Viele Integrale lassen sich direkt berechnen. Schwierig wird es, wenn der Integrand aus dem Produkt zweier Funktionen besteht.
In solchen Fällen hilft es oft, die Produktregel der Differentialrechnung in umgekehrter Richtung anzuwenden.
Ein Beispiel
Die Abbildung verdeutlicht an einem Beispiel, wie man die Produktregel der Differentialrechnung umkehrt.
Mit einer Umformung erhält man eine Darstellung der Stammfunktionen zur Produktfunktion $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Beachte, dass die beiden Konstanten $c_1$ und $c_2$ zu einer Konstanten $c = -(c_1 - c_2)$ zusammengefasst wurden.
Verallgemeinerung
Das Vorgehen im Beispiel oben lässt sich verallgemeinern.
Wir starten mit der Produktregel der Differentialrechnung:
$(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Wenn man diese Gleichung nach den Teilableitungsprodukten auflöst, erhält man:
$u'(x) \cdot v(x) = (u(x) \cdot v(x))' - u(x) \cdot v'(x)$
$u(x) \cdot v'(x) = (u(x) \cdot v(x))' - u'(x) \cdot v(x)$
Durch Umkehren des Ableitens ergeben sich hieraus die folgenden Darstellungen der Stammfunktionen zu den Teilableitungsprodukten:
$\int u'(x) \cdot v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) \; dx$
$\int u(x) \cdot v'(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \; dx$
Diese Umformungen setzen voraus, dass man die beteiligten Funktionen ableiten kann und dass die betreffenden Stammfunktionen existieren.
Stammfunktionen bei Produktfunktionen
Betrachte eine Produktfunktion der Gestalt $u(x) \cdot v(x)$ (mit Funktionen, die man ableiten kann und deren Ableitungen stetig sind). Für die Stammfunktionen der Teilableitungsprodukts $u(x) \cdot v'(x)$ und $u'(x) \cdot v(x)$ gilt dann:
Regel 1: $\int u'(x) \cdot v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) \; dx$
Regel 2: $\int u(x) \cdot v'(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \; dx$
Wenn man diese Regeln anwendet, spricht man auch von partiellem Integrieren.
Das Integral auf der linken Seite der Regel wird nur partiell (d.h. teilweise) aufgelöst.
Übrig bleibt ein Restintegral
, das man noch weiter bearbeiten muss.
Ziel ist es, das Produktintegral auf der linken Seite in ein einfacheres Integral umzuwandeln.
Bestimmung von Stammfunktionen von Produktfunktionen
Betrachte folgende Ausgangssituation.
Geg.: $f(x) = x \cdot \sin(x)$ (Produktfunktion)
Ges.: $\int f(x) \; dx = \int x \cdot \sin(x) \; dx$ (Stammfunktionen zur Produktfunktion)
Hier ergeben sich jetzt zwei mögliche Vorgehensweisen:
Mit Regel 1:
Mit Regel 2:
Die Verwendung von Regel 1 ist nicht zielführend, da man die Stammfunktionen $\int (\frac{1}{2}x^2 \cdot (-\sin(x))) \; dx$ nicht direkt angeben kann.
Der Verwendung von Regel 2 liefert dagegen eine verwendbare Darstellung der gesuchten Stammfunktionen, da $\int 1 \cdot (-cos(x)) \; dx = -\sin(x) + c$. Man erhält:
$\int x \cdot \sin(x) \; dx = - x \cdot \cos(x) + \sin(x) - c$
Bei Regel 2 kommen zwei günstige Umstände zusammen:
- Man kann die Teilfunktion $v'(x) = \sin(x)$
aufleiten
, so dass man $u(x) \cdot v(x)$ direkt angeben kann. - Die Ableitung $u'(x) = (x)' = 1$ der anderen Teilfunktion liefert eine Teilableitungsfunktion $u'(x) \cdot v(x) = 1 \cdot (-\cos(x))$, zu der man die Stammfunktionen bilden kann.,
Man wählt hier die Regel, bei der der Ausdruck im unbestimmten Integral auf der rechten Seite der Regel möglichst einfach wird.
Berechnung von Integralen
Betrachte folgende Ausgangssituation.
Geg.: $f(x) = x \cdot \sin(x)$ (Produktfunktion)
Ges.: $\int\limits_{0}^{\pi} x \cdot \sin(x) \; dx$ (Integral zur Produktfunktion)
Mit der Stammfunktion $F(x) = - x \cdot \cos(x) + \sin(x)$ lässt sich das Integral berechnen:
$\int\limits_{0}^{\pi} x \cdot \sin(x) \; dx = \left[ - x \cdot \cos(x) + \sin(x) \right]_{0}^{\pi} = (- \pi \cdot (-1) + 0) - (-0 \cdot 1 + 0) = \pi$
Die Berechnung des Integrals lässt sich auch so durchführen:
$\int\limits_{0}^{\pi} x \cdot \sin(x) \; dx = \left[ - x \cdot \cos(x) + \sin(x) \right]_{0}^{\pi} = \left[ - x \cdot \cos(x) \right]_{0}^{\pi} + \left[ \sin(x) \right]_{0}^{\pi} = \left[ - x \cdot \cos(x) \right]_{0}^{\pi} + \int\limits_{0}^{\pi} \cos(x) \; dx$
Allgemein gilt:
Integralberechnung bei Produktfunktionen
Betrachte eine Produktfunktion der Gestalt $u(x) \cdot v(x)$ (mit Funktionen, die man ableiten kann und deren Ableitungen stetig sind). Es gilt dann:
Regel 1: $\int\limits_{a}^{b} u'(x) \cdot v(x) \; dx = \left[ u(x) \cdot v(x) \right]_{a}^{b} - \int\limits_{a}^{b} u(x) \cdot v'(x) \; dx$
Regel 2: $\int\limits_{a}^{b} u(x) \cdot v'(x) \; dx = \left[ u(x) \cdot v(x) \right]_{a}^{b} - \int\limits_{a}^{b} u'(x) \cdot v(x) \; dx$
Bei der Verwendung dieser Regeln zur Integralberechnung spricht man auch von partieller Integration. Inhaltlich bedeutet partielle Integration, die Produktregel rückwärts anzuwenden, um ein Produktintegral in ein einfacheres Integral umzuwandeln. Die entscheidende Fähigkeit besteht darin zu erkennen, welche Funktion durch Ableiten einfacher wird und welche sich leicht integrieren lässt.
