Überprüfung – Umkehrung der Kettenregel

Aufgabe 1

F. behauptet: Die Funktion $F(x) = \frac{1}{5}(2x-1)^5$ ist eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f(x) = (2x-1)^4$.

(a) Begründe, dass diese Behauptung falsch ist.

(b) Korrigiere die Behauptung. Gib hierzu eine korrekt gebildete Stammfunktion zur Ausgangsfunktion an.

(c) Ergänze zu einer verallgemeinerten Potenzregel (für eine natürliche Zahl $n$ und reelle Zahlen $a \neq 0$ und $b$):

$\int (ax+b)^n \; dx = $

Kontrolle

(a) Mit der Kettenregel erhält man:

$F'(x) = 5 \cdot \frac{1}{5}(2x-1)^4 \cdot 2 = 2(2x-1)^4 \neq f(x)$

(b) Für $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x-1)^5 = \frac{1}{10}(2x-1)^5$ gilt dagegen $F'(x) = f(x)$.

(c) Ergänze zu einer verallgemeinerten Potenzregel (für eine natürliche Zahl $n$ und reelle Zahlen $a \neq 0$ und $b$):

$\int (ax+b)^n \; dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1}$