Erarbeitung
Zur Orientierung
Stammfunktionen Zusammenstellung der Stammfunktionen zu Basisfunktionen
Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen herleiten
Die Abbildung verdeutlicht am Beispiel $u(x) \cdot v(x) = x \cdot \sin(x), wie man die Produktregel der Differentialrechnung umkehrt.
Mit einer Umformung erhält man so die Stammfunktionen zum Teilableitungsprodukts $u(x) \cdot v'(x) = x \cdot \cos(x)$. Beachte, dass die Konstanten $c_1$ und $c_2$ zu einer Konstante $c = - (c_1 - c2)$ zusammengefasst wurden..
Aufgabe 1
(a) Erläutere mit Hilfe der Abbildungen, wie man zur verallgemeinerten Darstellung der Stammfunktionen des Teilableitungsprodukts $u(x) \cdot v'(x)$ gelangt.
$\int u(x) \cdot v'(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \; dx$
(b) Erkläre analog (ausgehend von der Produktregel der Differentialrechnung), wie man zu einer analogen Darstellung der Stammfunktionen des Teilableitungsprodukts $u'(x) \cdot v(x)$ gelangt.
$\int u'(x) \cdot v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) \; dx$
Anwendung der Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen untersuchen
Im folgenden Satz sind die Regeln zur Ermittlung der Stammfunktionen der Teilableitungsprodukts einer Produktfunktion der Gestalt $u(x) \cdot v(x)$ zusammengefasst. Beachte, dass die beteiligten Funktionen Bedingungen erfüllen müssen, damit man sie ableiten kann und damit die betreffenden Stammfunktionen existieren.
Stammfunktionen bei Produktfunktionen
Betrachte eine Produktfunktion der Gestalt $u(x) \cdot v(x)$ (mit Funktionen, die man ableiten kann und deren Ableitungen stetig sind). Für die Stammfunktionen der Teilableitungsprodukts $u(x) \cdot v'(x)$ und $u'(x) \cdot v(x)$ gilt dann:
Regel 1: $\int u'(x) \cdot v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) \; dx$
Regel 2: $\int u(x) \cdot v'(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \; dx$
Wenn man diese Regeln anwendet, spricht man auch von partiellem Integrieren.
Das Integral auf der linken Seite der Regel wird nur partiell (d.h. teilweise) aufgelöst.
Übrig bleibt ein Restintegral
, das man noch weiter bearbeiten muss.
Ziel ist es, das Produktintegral auf der linken Seite in ein einfacheres Integral umzuwandeln.
Bei der Herleitung der Regeln sind wir von der zu Grunde liegenden Produktfunktion $u(x) \cdot v(x)$ ausgegangen. Wenn man die Regeln in konkreten Situationen anwenden will, ist diese aber nicht gegeben. Wir verdeutlichen diese Problematik am folgenden Beispiel.
Geg.: $f(x) = x \cdot \sin(x)$ (Produktfunktion)
Ges.: $\int f(x) \; dx = \int x \cdot \sin(x) \; dx$ (Stammfunktionen zur Produktfunktion)
Hier ergeben sich jetzt zwei mögliche Vorgehensweisen:
Mit Regel 1:
Mit Regel 2:
Aufgabe 2
(a) Betrachte die Verwendung von Regel 1. Erläutere die Schwierigkeit, die hier entsteht und begründe, warum die Verwendung von Regel 1 in der vorliegenden Situation nicht zielführend ist.
(b) Betrachte die Verwendung von Regel 2. Erkläre, warum Regel 2 hier zu einer Darstellung der gesuchten Stammfunktionen führt. Ergänze die Darstellung.
$\int x \cdot \sin(x) \; dx = $
(c) Beschreibe eine Strategie, mit der man die Regel zur Ermittlung der Stammfunktionen auswählen kann.
Integrale berechnen
Betrachte folgende Ausgangssituation.
Geg.: $f(x) = x \cdot \sin(x)$ (Produktfunktion)
Ges.: $\int\limits_{0}^{\pi} x \cdot \sin(x) \; dx$ (Integral zur Produktfunktion)
Aufgabe 3
(a) Benutze die oben bereits ermittelten Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion $f$ zur Berechnung des Integrals.
(b) Begründe, dass man bei der Integralberechnung auch so vorgehen kann:
$\int\limits_{0}^{\pi} x \cdot \sin(x) \; dx = \left[ - x \cdot \cos(x) \right]_{0}^{\pi} + \int\limits_{0}^{\pi} \cos(x) \; dx$
