Überprüfung – Uneigentliche Integrale
Aufgabe 1
Verdeutliche anhand eines Beispiels, dass die folgenden Aussagen falsch sind.
A: Wenn eine Fläche unendlich lang ist, muss ihr Flächeninhalt unendlich groß sein.
B: Wenn $f(x) \gt 0$ für alle $x \gt 0$ und wenn $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{ f(x) } = 0$, dann gilt $\int\limits_{a}^{\infty} f(x) \; dx \lt \infty$ für jedes $a > 0$.
Kontrolle
Zur Widerlegung der Aussage A kann man die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x}$ verwenden. Betrachte das Flächenstück unter Graph $f$, das von $0$ bis ins Unendliche reicht.
Für die Funktion $f(x) = e^{-x}$ gilt:
$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-x} \; dx = \lim\limits_{b \rightarrow \infty}{ \left( \int\limits_{0}^{b} e^{-x} \; dx \right) } = \lim\limits_{b \rightarrow \infty}{ \left(-e^{-b} + 1 \right)} = 1$
Zur Widerlegung der Aussage B kann man die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$ verwenden. Betrachte das Flächenstück unter Graph $f$, das von $1$ bis ins Unendliche reicht.
Für die Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ gilt $f(x) \gt 0$ für alle $x \gt 0$ und sowie $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{ f(x) } = 0$. Es gilt aber:
$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \; dx = \lim\limits_{b \rightarrow \infty}{ \left( \int\limits_{1}^{b} \frac{1}{x} \; dx \right) } = \lim\limits_{b \rightarrow \infty}{ \left( \ln(b) - 0 \right)} = \infty$
