Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten hier linear verkettete Funktionen. Das sind Funktionen, die sich als Verkettung einer äußeren Funktion mit einer linearen inneren Funktion darstellen lassen. Ziel ist es, eine Regel zur Bestimmung der Stammfunktionen solch linear verketteter Funktionen zu entwickeln.
Stammfunktionen bestimmen
Die Abbildung verdeutlicht, wie man eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f(x) = \cos(2x+\pi)$ bestimmt.
Aufgabe 1
Gehe analog vor und bestimme die Stammfunktionen zu den vorgegebenen Ausgangsfunktionen.
| Ausgangsfunktion | Stammfunktionen | |
|---|---|---|
| (a) | $f(x) = \cos(2x + \pi)$ | $F(x) = \frac{1}{2} \sin(2x + \pi) + c$ |
| (b) | $f(x) = \sin(4x + \frac{\pi}{2})$ | $F(x) = $ |
| (c) | $f(x) = e^{0.5x}$ | $F(x) = $ |
| (d) | $f(x) = (2x-1)^3$ | $F(x) = $ |
Das Vorgehen verallgemeinern
Aufgabe 2
(a) Beschreibe in Worten, wie du bei der Bestimmung der Stammfunktionen in Aufgabe 1 vorgegangen bist.
(a) Erläutere: Die Beispielfunktionen in Aufgabe 1 haben alle die Struktur $f(x) = g(ax+b)$ mit einer äußeren Funktion $g$ und einer inneren linearen Funktion $h$ der Gestalt $h(x) = ax+b$ mit reellen Zahlen $a \neq 0$ und $b$.
(c) Ergänze den folgenden Satz zur Bestimmung von Stammfunktionen bei einer linearen Verkettung.
Stammfunktionen bei einer linearen Verkettung
Betrachte eine Funktion $f$ der Gestalt $f(x) = g(ax+b)$ mit reellen Zahlen $a \neq 0$ und $b$. Die Funktion $G$ sei eine Stammfunktion zur äußeren Funktion $g$.
Dann ist die Funktion $F(x) = \dots$ eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$. Die Gesamtheit aller Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion $f$ kann man also so beschreiben:
$\int f(x) \; dx = \int g(ax+b) \; dx = \dots$
Integrale berechnen
Betrachte die Funktion $f(x) = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x-1}$. Gesucht ist das Integral $\int\limits_{2}^{4} f(x) \; dx$.
Aufgabe 3
(a) Bestimme eine Stammfunktion von $f$ und berechne mit dieser Stammfunktion das gesuchte Integral.
(b) Betrachte die lineare Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{1}{2}x-1$. Berechne auch das Integral $\int\limits_{h(2)}^{h(4)} e^x \; dx$. Was fällt auf?
(c) Erkläre mit den folgenden Umformungen, warum die Integrale in (a) und (b) dasselbe Ergebnis liefern.
$\int\limits_{2}^{4} \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x-1} \; dx = \int\limits_{2}^{4} h'(x) e^{h(x)} \; dx = \left[ e^{h(x)} \right]_{2}^{4} = e^{h(4)} - e^{h(2)} = \left[ e^{x} \right]_{h(2)}^{h(4)} = \int\limits_{h(2)}^{h(4)} e^x \; dx$
Integrale mit einer linearen Substitution berechnen
Das Ergebnis aus Aufgabe 3 lässt sich auf analoge Situationen übertragen.
Aufgabe 4
(a) Erläutere die folgende Regel zur Integralberechnung.
Integralberechnung mit einer linearen Substitution
Betrachte eine Funktion $f$ der Gestalt $f(x) = g(ax+b)$ mit reellen Zahlen $a \neq 0$ und $b$. Die Funktion $f$ lässt sich dann als Verkettung in der Form $f(x) = g(h(x))$ mit der linearen Funktion $h(x) = ax+b$ darstellen. Es gilt:
$\int\limits_{x_1}^{x_2} g(h(x)) \cdot h'(x) \; dx = \int\limits_{h(x_1)}^{h(x_2)} g(x) \; dx$
(b) Benutze die Regel, um folgendes Integral zu berechnen:
$\int\limits_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \cos(2x+\pi) \; dx$
