Wiederholung – Rekonstruktion eines Bestandes

Die Grundidee

Grundlegend für das Verständnis einer Bestandsrekonstruktion ist das Verständnis von Änderungsraten als Änderungen pro Schrittweite. Die Übersicht verdeutlicht diese Zusammenhänge im Kontext Bewegungsvorgänge.

Bestandsentwicklung	Beispiel: Bewegungsvorgang
Vor.: Die Änderungsrate ist im betrachteten Intervall konstant.	Vor.: Die Geschwindigkeit ist im betrachteten Zeitintervall konstant.
$\displaystyle{\text{Änderungsrate} = \frac{\text{Änderung des Bestandes}}{\text{Schrittweite}}}$	$\displaystyle{\text{Geschwindigkeit} = \frac{\text{zurückgelegte Wegstrecke}}{\text{benötigte Zeit}}}$
$\displaystyle{\text{Änderung des Bestandes (zur Schrittweite)} = }$ $\qquad \text{Änderungsrate} \cdot \text{Schrittweite}$	$\displaystyle{\text{Zurückgelegte Wegstrecke (in einem Zeitintervall)} = }$ $\displaystyle{\qquad \text{Geschwindigkeit} \cdot \text{Länge des Zeitintervalls}}$

Aufgabe 1

Verdeutliche die Berechnung einer zurückgelegten Wegstrecke anhand eines selbst gewählten Zahlenbeispiels. Gib dabei auch die Voraussetzung für die Berechnung an.

Rekonstruktion einer zurückgelegten Wegstrecke

Betrachte den realistischeren Fall, dass ein Fahrzeug sich mit ständig wechselden Geschwindigkeiten fortbewegt. Das Applet soll (in vereinfachter Form) die Geschwindigkeitsaufzeichnung einer LKW-Fahrt beschreiben. Mache dich mit dem Applet vertraut und bearbeite anschließend die Aufgabe unter dem Applet.

Anleitung für das Applet

• Im unteren Fenster wird der Geschwindigkeitsverlauf (punktuell) mit einem Graph verdeutlicht.
• Im oberen Fenster werden Daten zum Bewegungsvorgang angezeigt.
• Den roten Punkt auf der Zeit-Achse kann man im Anzeigemodus hin und her bewegen.
• Wenn man das Kontrollkästchen [neu] aktiviert, dann gelangt man in den Erstellungsmodus. Mit dem Button [⏪︎] kann man zunächst den Ausgangszustand herstellen. Wenn man anschließend den Button [▶] anklickt, dann beginnt der Bewegungsvorgang (mit einem kleinen Vorlauf). Auf der Zeit-Achse sieht man, wie die Zeit voranschreitet. Die momentane Geschwindigkeit kann man mit den blauen Punkt ⧫ auf der Geschwindigkeit-Achse variieren.
• Wenn der Bewegungsvorgang aufgezeichnet ist, dann kann gelangt man mit einer Deaktivierung des Kontrollkästchens [neu] in den Anzeigemodus. Die Daten zum neu erstellten Bewegungsvorgang werden eingeblendet.

Zum Herunterladen: wegberechnung.ggb

Aufgabe 2

Erkläre am Beispiel aus der folgenden Übersicht, warum man bei einem beliebigen Geschwindigkeitsverlauf die in einem Zeitintervall $[a; b]$ zurückgelegte Wegstrecke mit Hilfe des Integrals bestimmen kann.

Geschwindigkeitsverlauf	Bestimmung der zurückgelegten Wegstrecke
	$\begin{array}{lll} s_{[a;b]} & \approx & v(t_1) \cdot (\Delta t)_1 + \dots + v(t_n) \cdot (\Delta t)_n \\ \\ & & \quad \downarrow \ n \rightarrow \infty \\ \\ s_{[a;b]} & = & \int\limits_a^b v(t) \; dt \end{array}$

Durchschnittsgeschwindigkeit bei einem Bewegungsvorgang

Die Bestimmung zurückgelegter Wegstrecken mit Hilfe des Integrals eröffnet auch die Möglichkeit, Durchschnittsgeschwindigkeiten mit Hilfe des Integrals zu bestimen.

Aufgabe 3

Ergänze in der folgenden Übersicht die Formel zur Bestimmung der Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Zeitintervall $[a; b]$ unter Verwendung des Integrals.

Geschwindigkeitsverlauf	Bestimmung der Durchschnittsgeschwindigkeit
	$\begin{array}{lll} \bar{v}_{[a;b]} & = & \dots \end{array}$