Erarbeitung
Zur Orientierung
Ziel ist es, ein Verfahren zur Bestimmung von Mittelwerten bei beliebigen Funktionen festzulegen.
Das Mittelwertverfahren verallgemeinern
Wir verallgemeinern das Verfahren zur Mittelwertbestimmung, indem wir das Verfahren auf beliebige Funktionen (ohne Deutungen in Kontexten) übertragen.
| Mittelwert bei einer Temperaturentwicklung | Mittelwert einer Funktion |
|---|---|
| geg.: Funktion $T$ zur Beschreibung der Temperaturentwicklung | geg.: Funktion $f$ |
| $\overline{T}_{[a;b]} = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b T(t) \; dt$ | $\overline{f}_{[a;b]} = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b f(x) \; dx$ |
Beachte: In den Applets in der Übersicht kann man das Intervall $[a; b]$ variieren, indem man die zugehörigen roten Punkte nach links und rechts bewegt.
Die Übersicht legt folgende Festlegung nahe.
Mittelwert einer Funktion
Betrachte eine Funktion $f$, die im Intervall $[a; b]$ definiert ist und für die das Integral $\int\limits_a^b f(x) dx$ existiert. Den Mittelwert der Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ bestimmt man mit dem Integral so:
$\overline{f}_{[a; b]} = \displaystyle{\frac{1}{b-a}} \int\limits_a^b f(x) dx$
Ein Beispiel betrachten
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 2$.
Zum Herunterladen: mittlelwertfunktion2.ggb
Aufgabe 1
Betrachte das Intervall $[a; b]$ mit $a = -2$ und $b = 4$.
(a) Bestimme den Mittelwert $\overline{f}_{[a; b]}$ der Funktion $f$ im Intervall von $a = -2$ bis $b = 4$.
(b) Aktiviere im Applet die Kontrollkästchen [If] und [Ig]. Begründe: Der Mittelwert $\overline{f}_{[a; b]}$ entspricht einer Zahl $c$ mit folgender Eigenschaft:
$\underbrace{\int\limits_a^b f(x) \; dx}_{I_f} = (b - a) \cdot c = \underbrace{\int\limits_a^b g(x) \; dx}_{I_g}$
Die Zahl $c$ legt dabei eine Hilfsfunktion $g$ fest. Der konstante Funktionswert $g(x) = c$ entspricht dem Mittelwert der Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$.
Aufgabe 2
Betrachte das Intervall $[a; b]$ mit $a = 1$ und $b = 4$. Stelle im Applet dieses Intervall durch Verschieben der roten Punte auf der $x$-Achse ein.
(a) Gehe zunächst experimentell vor. Aktiviere hierzu im Applet die Kontrollkästchen [If] und [Ig]. Stelle den blauen Punkt ⧫ auf der $y$-Achse so ein, dass $I_f$ und $I_g$ (fast) übereinstimmen. Schätze dann den Mittelwert der Funktion $f$ im Intervall von $a = 1$ bis $b = 4$ grob ab.
(b) Berechne den Mittelwert $\overline{f}_{[a; b]}$ der Funktion $f$ im Intervall von $a = 1$ bis $b = 4$. Vergleiche das Ergebnis mit der Abschätzung aus Teilaufgabe (a).
