Vertiefung
Zur Orientierung
Im vorangehenden Abschnitt wurde die jeweils passende Regel zur Bestimmung von Stammfunktionen einer Produktfunktion weitestgehend vorgegeben. In diesem Abschnitt geht es darum, weitere Erfahrungen bei Bestimmung von Stammfunktionen zu sammeln.
Stammfunktionen durch Umkehrung der Produktregel bestimmen
Aufgabe 1
(a) Betrachte die Produktfunktion $f(x) = x \cdot e^x$. Teste die Anwendung der beiden Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen bei dieser Produktfunktion. Erläutere, warum nur eine Regel direkt zu einem Ergebnis führt. Gibt die Stammfunktionen von $f$ an.
$\int x \cdot e^x \; dx = $
(b) Betrachte die Produktfunktion $f(x) = x^2 \cdot e^x$. Verwende das Ergebnis aus Teilaufgabe (a) bei der Bestimmung der Stammfunktionen von $f$.
Aufgabe 2
Betrachte die Produktfunktion $f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$.
(a) Begründe mit einer passenden Regel die folgende Integraldarstellung.
$\int \sin(x) \cdot \cos(x) \; dx = \sin(x) \cdot \sin(x) - \int \cos(x) \cdot \sin(x) \; dx$
(b) Leite aus dieser Darstellung eine integralfreie Darstellung der Stammfunktionen zur Produktfunktion $f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$ her.
$\int \sin(x) \cdot \cos(x) \; dx = $
Aufgabe 3
Betrachte die $f(x) = \ln(x)$. In der vorliegenden Darstellung liegt hier keine Produktfunktion vor. Die Situation ändert sich, wenn wir $f$ in der Form $f(x) = 1 \cdot \ln(x)$ darstellen. Nutze diese Darstellung, um die Stammfunktionen der $\ln$-Funktion zu bestimmen.
$\int \ln(x) \; dx = x \cdot \ln(x) - x - c$
