Übungen – Mittelwert einer Funktion

Aufgabe 1

Bestimme für die Funktionen jeweils den Mittelwert im Intervall zur eingfärbten Fläche. Verdeutliche den Mittelwert mit einer Parallelen zur $x$-Achse.

	Graph mit eingefärbter Fläche	Funktionsgleichung
(a)		$f(x) = x^2-2x$
(b)		$f(x) = x^2 - x - 2$
(c)		$f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^2 + 1$
(d)		$f(x) = \frac{1}{3}x^3+2x^2+3x$

Aufgabe 2

Gesucht sind quadratische Funktionen, die im Intervall $[0; 1]$ den Mittelwert $0$ haben. Bestimme mindestens drei solche Funktionen.

Aufgabe 3

Betrachte lineare und konstante Funktionen vom Typ $f(x) = mx + c$. Im Applet kann man mit den Schiebereglern [$m$] und [$c$] die Graphen solcher Funktionen einstellen. Verdeutlicht wird auch der Mittelwert der eingestellten Funktion im Intervall $[a; b]$. Das Intervall $[a; b]$ kann man dabei mit den roten Punkten auf der $x$-Achse variieren.

Zum Herunterladen: mittelwertlinearefunktion.ggb

(a) Experimentiere mit dem Applet. Formuliere eine Vermutung, wie man den Mittelwert der jeweils betrachteten Funktion im Intervall $[a; b]$ direkt (ohne Integralberechnung) bestimmen kann. Beschreibe die Vermutung auch mit einer Formel:

$\overline{f}_{[a;b]} = f(\dots)$

(b) Überprüfe die Vermutung am Beispiel $f(x) = 0.5x + 2$ und dem Intervall $[1; 5]$. Bestimme den Mittelwert der Funktion $f$ im betrachteten Intervall und vergleiche das Ergebnis mit dem Funktionswert in der Mitte des Intervalls.

(c) Wenn du fit bist, dann zeige die Vermutung für eine beliebige Funktion $f$ vom Typ $f(x) = mx + c$ und ein beliebiges Intervall $[a; b]$. Bestimme den Mittelwert der Funktion $f$ in dem betrachteten Intervall und vergleiche das Ergebnis mit dem Funktionswert in der Mitte des Intervalls.

Tipp: $b^2 - a^2 = (b+a)(b-a)$

Aufgabe 4

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ sowie ein Intervall der Gestalt $[-a; a]$. Im Applet kann das Intervall mit den roten Punkt ⧫ auf der $x$-Achse variieren.

Zum Herunterladen: mittelwertquadratischefunktion.ggb

(a) Experimentiere mit dem Applet. Formuliere eine Vermutung, wie man den Mittelwert der jeweils betrachteten Funktion im Intervall $[a; b]$ direkt (ohne Integralberechnung) bestimmen kann. Benutze ggf. den [Tipp].

(b) Zeige mit einer Herleitung, dass die Vermutung stimmt.