Zusammenfassung – Umkehrung der Kettenregel
Zur Orientierung
Die Abbildung verdeutlicht das Problem, um das es hier geht.
Wie bestimmt man die Stammfunktion einer komplexeren Funktion, bei der eine äußere Funktion mit einer inneren Funktion verknüpft wird?
Stammfunktionen bei einer linearen Verkettung
Bei der Ausgangsfunktion $f(x) = \cos(2x+\pi)$ ist die Bestimmung der Stammfunktion recht einfach. Die Abbildung verdeutlicht, wie man zu einer Stammfunktion gelangt.
Die Beispielfunktion $f(x) = \cos(2x+\pi)$ hat die Struktur $f(x) = g(ax+b)$ mit einer äußeren Funktion $g$ und einer inneren linearen Funktion $h$ der Gestalt $h(x) = ax+b$ mit reellen Zahlen $a \neq 0$ und $b$. Für solche linear verketten Funktionen lassen sich die Stammfunktionen direkt bilden.
Stammfunktionen bei einer linearen Verkettung
Betrachte eine Funktion $f$ der Gestalt $f(x) = g(ax+b)$ mit reellen Zahlen $a \neq 0$ und $b$. Die Funktion $G$ sei eine Stammfunktion zur äußeren Funktion $g$.
Dann ist die Funktion $F(x) = \frac{1}{a} G(ax+b)$ eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$. Die Gesamtheit aller Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion $f$ kann man auch so beschreiben:
$\int f(x) \; dx = \int g(ax+b) \; dx = \frac{1}{a} G(ax+b) + c$
Die folgende Übersicht verdeutlicht die Bestimmung von Stammfunktionen bei einer linearen Verkettung mit Hilfe von Beispielen.
| Ausgangsfunktion | Stammfunktionen | |
|---|---|---|
| (a) | $f(x) = \cos(2x + \pi)$ | $F(x) = \frac{1}{2} \sin(2x + \pi) + c$ |
| (b) | $f(x) = \sin(4x + \frac{\pi}{2})$ | $F(x) = -\frac{1}{4} \cos(4x + \frac{\pi}{2}) + c$ |
| (c) | $f(x) = e^{0.5x}$ | $F(x) = \frac{1}{0.5} e^{0.5x} + c = 2 e^{0.5x} + c$ |
| (d) | $f(x) = (2x-1)^3$ | $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}(2x-1)^4 + c = \frac{1}{8} (2x-1)^4 + c$ |
| (e) | $f(x) = \sqrt{4x-1} = (4x-1)^{\frac{1}{2}}$ | $F(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}(4x-1)^{\frac{3}{2}} + c = \frac{1}{6} (4x-1)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \sqrt{(4x-1)^3} + c$ |
| (f) | $f(x) = \frac{1}{2x+2} = (2x+2)^{-1}$ | $F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x+2) + c$ |
Integralberechnung bei einer linearen Verkettung
Beispiel
Betrachte die Funktion $f(x) = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x-1}$. Gesucht ist das Integral $\int\limits_{2}^{4} f(x) \; dx$.
Mit dem Satz über Stammfunktionen bei einer linearen Verkettung kann man direkt eine Stammfunktion $F$ zur Ausgangsfunktion $f$ angeben:
$F(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x-1} = e^{\frac{1}{2}x-1}$
Mit dieser Stammfunktion erhält man:
$\int\limits_{2}^{4} \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x-1} \; dx = \left[ e^{\frac{1}{2}x-1} \right]_{2}^{4} = e^{1} - e^{0} = e-1$
Betrachte die lineare Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{1}{2}x-1$. Mit dieser inneren Funktion lässt sich das Integral auch so darstellen:
$\int\limits_{2}^{4} \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x-1} \; dx = \int\limits_{2}^{4} h'(x) e^{h(x)} \; dx = \left[ e^{h(x)} \right]_{2}^{4} = e^{h(4)} - e^{h(2)} = \left[ e^{x} \right]_{h(2)}^{h(4)} = \int\limits_{h(2)}^{h(4)} e^x \; dx$
Das Ergebnis aus dem Beispiel lässt sich auf analoge Situationen übertragen. Es gilt folgender Satz:
Integralberechnung mit einer linearen Substitution
Betrachte eine Funktion $f$ der Gestalt $f(x) = g(ax+b)$ mit reellen Zahlen $a \neq 0$ und $b$. Die Funktion $f$ lässt sich dann als Verkettung in der Form $f(x) = g(h(x))$ mit der linearen Funktion $h(x) = ax+b$ darstellen. Es gilt:
$\int\limits_{x_1}^{x_2} g(h(x)) \cdot h'(x) \; dx = \int\limits_{h(x_1)}^{h(x_2)} g(x) \; dx$
Verallgemeinerung – Umkehrung der Kettenregel
Wir verallgemeinern das Verfahren zur Bestimmung von Stammfunktionen durch Umkehrung der Kettenregel. Betrachte die in der Abbildung gezeigte Beispielsituation.
Diesem Beispiel liegt folgende Struktur zu Grunde:
Wenn die Ausgangsfunktion $f$ die zur Kettenregel passende Struktur aufweist, dann kann man die Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion durch eine Umkehrung der Kettenregel bestimmen. Der folgende Satz präzisiert dieses Verfahren.
Stammfunktionen bei einer Verkettung
Betrachte eine Funktion $f$, die sich in der Form $f(x) = g(h(x)) \cdot h'(x)$ mit zwei Funktionen $g$ und $h$ darstellen lässt. Die Funktion $G$ sei eine Stammfunktion zur Funktion $g$.
Dann ist die Funktion $F(x) = G(h(x))$ eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$. Die Gesamtheit aller Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion $f$ kann man also so beschreiben:
$\int f(x) \; dx = \int g(h(x)) \cdot h'(x) \; dx = G(h(x)) + C$
Wenn man zur Ausgangsfunktion $f$ eine Stammfunktionen $F$ gefunden hat, dann kann man Integrale zur Ausgangsfunktion in der üblichen Weise berechnen.
$\int\limits_{0}^{2} e^{-x^2} \cdot (-2x) \; dx = \left[ e^{-x^2} \right]_{0}^{2} = e^{-2^2} - e^{-0^2} = e^{-4} - 1$
Die Berechnungen im vorliegenden Beispiel lassen sich auch so darstellen.
$\int\limits_{0}^{2} e^{-x^2} \cdot (-2x) \; dx = \left[ e^{-x^2} \right]_{0}^{2} = \left[ e^{x} \right]_{-0^2}^{-2^2} = \int\limits_{-0^2}^{-2^2} e^{x} \; dx$
Verallgemeinernd erhält man folgenden Zusammenhang:
Integralberechnung mit einer Substitution
Betrachte eine Funktion $f$, die sich in der Form $f(x) = g(h(x)) \cdot h'(x)$ mit zwei Funktionen $g$ und $h$ darstellen lässt. Dann gilt:
$\int\limits_{x_1}^{x_2} g(h(x)) \cdot h'(x) \; dx = \left[ G(h(x)) \right]_{x_1}^{x_2} = \left[ G(x) \right]_{h(x_1)}^{h(x_2)} = \int\limits_{h(x_1)}^{h(x_2)} g(x) \; dx$
