Übungen – Uneigentliche Integrale

Aufgabe 1

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x}$ schließt mit den beiden Koordinatenachsen das grau hervorgehobene Flächenstück ein. Bestimme den Flächeninhalt dieses Flächenstücks.

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$ sowie zwei farblich hervorgehobene Flächenstücke. Zeige, dass beide Flächenstücke einen unendlich großen Flächeninhalt haben.

Aufgabe 3

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2^x}$. Begründe, dass das uneigentliche Integral $\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{2^x} \; dx$ existiert (d.h., dass es einen endlichen Wert hat).

Aufgabe 4

Wenn man das uneigentliche Integral $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \; dx$ bestimmen möchte, dann muss man vorab die beiden uneigentlichen Integrale $\int\limits_{-\infty}^{0} f(x) \; dx$ und $\int\limits_{0}^{+\infty} f(x) \; dx$ bestimmen. Wenn beide einen endliche Werte liefern, dann addiert man diese Werte.

(a) Begründe, dass $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \; dx$ für die Funktion $f(x) = x$ nicht existiert.

(b) F. hat folgende Rechnung erstellt. Erläutere den Fehler, den F. gemacht hat.

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \; dx = \lim\limits_{c \rightarrow \infty}{ \left( \int\limits_{-c}^{c} x \; dx \right) } = \lim\limits_{c \rightarrow \infty}{ \left( \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{-c}^{c} \right) } = \lim\limits_{c \rightarrow \infty}{ \left( 0 \right) } = 0$