Übungen – Umkehrung der Produktregel

Aufgabe 1

Ziel ist es, die Stammfunktionen von $f(x) = x \cdot e^{-x}$ zu bestimmen.

(a) Ergänze die Berechnungsschritte.

$\int \underbrace{x \cdot e^{-x}}_{u(x) \cdot v'(x)} \; dx = $

(b) Erkläre, warum der folgende Ansatz ungünstig ist.

$\int \underbrace{x \cdot e^{-x}}_{u'(x) \cdot v(x)} \; dx = $

Aufgabe 2

Betrachte die folgende Integralgleichung.

$\int x \cos(x) \; dx = x \sin(x) + \int \sin(x) \; dx$

Begründe durch Ableiten, dass diese Gleichung falsch ist. Korrigiere die Gleichung.

Aufgabe 3

Bestimme die Stammfunktionen mit einer Umkehrung der Produktregel. Vergleiche das Ergebnis mit dem, das man mit der Potenzregel erhält.

$\int \underbrace{x \cdot x}_{u(x) \cdot v'(x)} \; dx = $

Aufgabe 4

Gesucht sind die Stammfunktionen von $f(x) = x^3 \cdot e^x$.

(a) Erkläre vorab, wie man durch Umkehren der Produkregel schrittweise zu den gesuchten Stammfunktionen gelangen kann.

(b) Wenn du fit bist, dann bestimme die gesuchten Stammfunktionen mit der in (a) beschriebenen Strategie.

Aufgabe 5

Bestimme die Stammfunktionen von $f(x) = \sin(x) \cdot \sin(x)$. Benutze dabei den Zusammenhang $(\sin(x))^2 + (\cos(x))^2 = 1$.

Aufgabe 6

Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = 2x e^{- \frac{1}{2}x}$.

Berechne den Inhalt der (farbig gekennzeichneten) Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse vom Schnittpunkt mit der $x$-Achse bis zum Hochpunkt des Funktionsgraphen.