Zusammenfassung – Mittelwert einer Funktion

Beispiel – Mittelwert bei einer Temperaturentwicklung

Der Funktionsgraph im Applet zeigt die Temperaturentwicklung während eines Tages.

Zum Herunterladen: mittleretemperatur1b.ggb

Wir vereinfachen zunächst den Verlauf der Temperaturentwicklung, indem wir $4$ Zeitintervalle mit einer jeweils konstanten Temperatur betrachten:

• Im Zeitintervall von 0 bis 6 Uhr beträgt die Temperatur $11.2$ °C.
• Im Zeitintervall von 6 bis 12 Uhr beträgt die Temperatur $15.8$ °C
• Im Zeitintervall von 6 bis 12 Uhr beträgt die Temperatur $18.0$ °C
• Im Zeitintervall von 6 bis 12 Uhr beträgt die Temperatur $14.7$ °C

Die mittlere Temperatur zur vereinfachten Temperaturentwicklung lässt sich auf verschiedene Weisen bestimmen.

Zeitintervall [h]	Temperatur [°C]	Temperatur x Dauer [°C]
$0 \le t \lt 6$	$11.2$	$11.2 \cdot 6$
$6 \le t \lt 12$	$15.8$	$15.8 \cdot 6$
$12 \le t \lt 18$	$18.0$	$18.0 \cdot 6$
$18 \le t \lt 24$	$14.7$	$14.7 \cdot 6$
Mittelwertberechnung	$\displaystyle{\frac{11.2 + \dots + 14.7}{4}}$	$\displaystyle{\frac{11.2 \cdot 6 + \cdots + 14.7 \cdot 6}{24}}$

Die Berechnung in der 3. Spalte berücksichtigt die Zeitspanne (Dauer), in der die Temperatur konstant ist. Dieser Ansatz lässt sich für beliebige – also auch sehr kleine – Zeitspannen verwenden.

Im folgenden Applet kann man die Anzahl der betrachteten Teilintervalle variieren. Mit wachsender Anzahl von (gleich breiten) Teilintervallen nähert sich die vereinfachte Temperaturentwicklung immer mehr der vorgegebenen Temperaturentwicklung an.

Zum Herunterladen: mittleretemperatur2.ggb

Für die mittlere Temperatur zur vereinfachten Temperaturentwicklung erhält man folgende Ergebnisse:

Anzahl der Teilintervalle	mittlere Temperatur [°C]
$4$	$\displaystyle{\frac{11.2 \cdot 6 + \cdots + 14.7 \cdot 6}{24}}$
$6$	$\displaystyle{\frac{10.4 \cdot 4 + \cdots + 13.4 \cdot 4}{24}}$
$\dots$	$\dots$
$n$	$\displaystyle{\frac{T(t_1) \cdot \frac{b-a}{n} + \cdots + T(t_n) \cdot \frac{b-a}{n}}{b-a}}$
$\downarrow$	$\downarrow$
$\infty$	$\displaystyle{\frac{\int\limits_{a}^{b} T(t) \; dt}{b-a}}$

Man erhält somit folgende Formel zur Berechnung der mittleren Temperatur im Zeitintervall von $a$ bis $b$:

$\overline{T}_{[a;b]} = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b T(t) \; dt$.

Für $T(t) = -\frac{32}{1285} t³ + \frac{149}{4275} t² + \frac{182}{285} t + 9$ ergibt sich $\overline{T}_{[a;b]} \approx \frac{1}{24} 353.6 \approx 14.7$ [°C].

Verallgemeinerung – Mittelwert einer Funktion

Wir verallgemeinern das Verfahren zur Mittelwertbestimmung, indem wir das Verfahren auf beliebige Funktionen (ohne Deutungen in Kontexten) übertragen.

Mittelwert bei einer Temperaturentwicklung	Mittelwert einer Funktion
geg.: Funktion $T$ zur Beschreibung der Temperaturentwicklung	geg.: Funktion $f$
$\overline{T}_{[a;b]} = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b T(t) \; dt$	$\overline{f}_{[a;b]} = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b f(x) \; dx$

Beachte: In den Applets in der Übersicht kann man das Intervall $[a; b]$ variieren, indem man die zugehörigen roten Punkte nach links und rechts bewegt.

Die Übersicht legt folgende Festlegung nahe.

Beispiel – Mittelwert einer Funktion

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 2$. Betrachte das Intervall $[a; b]$ mit $a = -2$ und $b = 4$.

Zum Herunterladen: mittlelwertfunktion2.ggb

Mit $I_f = \int\limits_a^b f(x) \; dx = 9$ erhält man:

$\overline{f}_{[a; b]} = \displaystyle{\frac{1}{b-a}} \int\limits_a^b f(x) dx = \displaystyle{\frac{1}{6}} \cdot 9 = 1.5$

Diesen Mittelwert kann man im Applet mit einer konstanten Hilfsfunktion $g$ verdeutlichen. Wenn der konstante Funktionswert $f(x) = c$ dem Mittelwert $\overline{f}_{[a; b]}$ entspricht, dann gilt:

$\underbrace{\int\limits_a^b f(x) \; dx}_{I_f} = (b - a) \cdot \underbrace{\overline{f}_{[a; b]}}_{c} = \underbrace{\int\limits_a^b g(x) \; dx}_{I_g}$