Anwendung – Flucht von der Erde

Zur Orientierung

Wozu braucht man eigentlich uneigentliche Integrale? Wir verdeutlichen die Relevanz dieses mathematischen Konzepts anhand einer Fragestellung aus der Physik. Wir setzen dabei Wissen über die Verwendung des Integrals zur Berechnung physikalischer Arbeit voraus (siehe Anwendung).

Das Problem

Eine Rakete wird an der Erdoberfläche gestartet. Wie viel Arbeit muss man verrichten, damit die Rakete das Gravitationsfeld der Erde verlassen kann? Mit welcher Geschwindigkeit muss man die Rakete hierzu starten?

Physikalische Arbeit

Die Rakete muss während ihres Fluges kontinuierlich Arbeit gegen die Schwerkraft verrichten, um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen. Für die Schwerkraft im Gravitationsfeld der Erde gilt dabei:

$\displaystyle{F(r) = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2}}$

Dabei werden folgende Kenngrößen verwendet:

• $G$: Gravitationskonstante
• $m$: Masse der Rakete
• $M$: Masse der Erde
• $r$: Abstand der Rakete vom Erdmittelpunkt

Die Gravitationskraft reicht also bis ins Unendliche, wird mit wachsendem Abstand zur Erde aber immer kleiner.

Die physikalische Arbeit beim Verlassen des unendlich ausgedehnten Gravitationsfelde lässt sich jetzt mit einem uneigentlichen Integral beschreiben:

$W = \int\limits_{R}^{\infty} F(r) \; dr$

Die Kenngröße $R$ bezeichnet hierbei des Radius der Erde. Dieser Radius wird als untere Intervallgrenze beim Integral benutzt, da die Rakete an der Erdoberfläche gestartet wird. Beachte, dass hier nur die Gravitationskraft berücksichtig wird. In der Realität spielt bei Raketenstarts von der Erde auch der Luftwiderstand eine wichtige Rolle. Die tatsächlich zu verrichtende Arbeit ist in Wirklichkeit also größer als der Wert, den man mit der Formel oben erhält.

Aufgabe 1

(a) Leite die folgende Formel für die zu verrichtende Arbeit beim Verlassen des Gravitationsfeldes her. Berechne hierzu das uneigentliche Integral. Benutze die Größen $G$, $m$, $M$ und $R$ dabei als Konstanten.

$W = G \cdot \frac{m \cdot M}{r}$

(b) Erläutere selbst die folgende Deutung der Formel: Obwohl die Erdanziehungskraft bis ins Unendliche reicht, muss man nur endlich viel Arbeit verrichten, um eine Rakete bis ins Unendliche von der Erde zu entfernen. Der Grund hierfür ist, dass die Gravitationskraft quadratisch mit dem Abstand der Massen abnimmt.

(c) Eine kleine Rakete mit der Masse $m = 500$ kg soll das Gravitationsfeld der Erde verlassen. Berechne den Energiebedarf zur Verrichtung der erforderlichen Arbeit mit der oben gezeigten Formel. Benutze die folgenden Kenngrößen.

• $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{m}^3}{\text{kg} \cdot \text{s}^2}$
• $M \approx 5.972 \cdot 10^{24} \text{kg}$
• $R \approx 6.371 \cdot 10^6 \text{m}$

(d) Die Formel $W = G \cdot \frac{m \cdot M}{r}$ liefert nur einen theoretischen Mindestwert für die zu verrichtende Arbeit beim Verlassen des Gravitationsfelds der Erde. Erkläre, warum die Praxiswerte viel höher sind.

Fluchtgeschwindigkeit

Die zu verrichtenden Arbeit beim Verlassen des Gravitationsfeldes der Erde lässt sich mit einer Fluchtgeschwindigkeit verdeutlichen. Wir nehmen dabei an, dass wir die Rakete beim Start direkt mit einer hohen Geschwindigkeit $v$ versehen können. Wie groß muss diese Fluchtgeschwindigkeit gewählt werden, damit die Rakete das Gravitationsfeld der Erde verlassen kann?

Zur Berechnung dieser Fluchgeschwindigkeit verwendet man den Energieerhaltungssatz: Die kinetische Energie $E = \frac{1}{2} m\cdot v^2$ der Rakete bei Start mit der Fluchtgeschwindigkeit $v$ muss gleich der zu verrichten Arbeit $W$ zum Verlassen des Gravitationsfeldes der Erde sein. Hieraus ergibt sich folgende Bedingung:

$\frac{1}{2} m\cdot v^2 = G \cdot \frac{m \cdot M}{r}$

Aufgabe 2

(a) Leite die folgende Formel für die Fluchtgeschwindigkeit $v$ her.

$\displaystyle{v = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}}$

(b) Berechne die Fluchgeschwindigkeit $v$ mit folgenden Kenngrößen (in den Einheiten km/s sowie km/h).

• $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{m}^3}{\text{kg} \cdot \text{s}^2}$
• $M \approx 5.972 \cdot 10^{24} \text{kg}$
• $R \approx 6.371 \cdot 10^6 \text{m}$

(c) Ein Raketenstart in der Realität läuft anders ab als hier angenommen. Beschreibe die Unterschiede.