Lösungen zu Übungen – Bestimmung von Stammfunktionen
Aufgabe 1
Bestimme jeweils eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion.
| Ausgangsfunktion | Stammfunktion | |
|---|---|---|
| (a) | $f(x) = 3x^4-2x^2+5x-8$ | $F(x) = $ |
| (b) | $f(x) = 5\sin(x)-4\cos(x)+6$ | $F(x) = $ |
| (c) | $f(x) = 7e^x-3x^3+x$ | $F(x) = $ |
| (d) | $f(x) = 2x^5-\frac{6}{x}+9$ | $F(x) = $ |
| (e) | $f(x) = 4x^{-3}+6e^x-\sin(x)$ | $F(x) = $ |
| (f) | $f(x) = 9\cos(x)-5x^{-2}+2$ | $F(x) = $ |
| (g) | $f(x) = 3\ln(x)+2x^2$ | $F(x) = $ |
| (h) | $f(x) = 8x^7-4e^x+\frac{5}{x}$ | $F(x) = $ |
| Ausgangsfunktion | Stammfunktion | |
|---|---|---|
| (a) | $f(x) = 3x^4-2x^2+5x-8$ | $F(x) = \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 8x$ |
| (b) | $f(x) = 5\sin(x)-4\cos(x)+6$ | $F(x) = -5\cos(x) - 4\sin(x) + 6x$ |
| (c) | $f(x) = 7e^x-3x^3+x$ | $F(x) = 7e^x - \frac{3}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2$ |
| (d) | $f(x) = 2x^5-\frac{6}{x}+9$ | $F(x) = \frac{1}{3}x^6 - 6\ln(x) + 9x$ |
| (e) | $f(x) = 4x^{-3}+6e^x-\sin(x)$ | $F(x) = -2x^{-2} + 6e^x + \cos(x)$ |
| (f) | $f(x) = 9\cos(x)-5x^{-2}+2$ | $F(x) = 9\sin(x) +5x^{-1} + 8x$ |
| (g) | $f(x) = 8x^7-4e^x+\frac{5}{x}$ | $F(x) = x^8 - 4e^x + 5 \ln(x)$ |
| (h) | $f(x) = 3\ln(x)$ | $F(x) = 3(\ln(x) \cdot x - x)$ |
Aufgabe 2
In Applet kann man vier Funktionen mit einer jeweils hervorgehobenen Fläche einblenden. Finde mit Hilfe von Integralberechnungen heraus, welche Fläche den größten Inhalt hat.
Zum Herunterladen: integral-basisfunktionen.ggb
$f_1$: $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \; dx = \left[ - \cos(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (0-(-1)) = 1$
$f_2$: $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \; dx = \left[ \sin(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (1 - 0) = 1$
$f_3$: $\int\limits_{0}^{\ln{2}} e^x \; dx = \left[ e^x \right]_{0}^{\ln{2}} = (2 - 1) = 1$
$f_4$: $\int\limits_{1}^{e} \frac{1}{x} \; dx = \left[ \ln(x) \right]_{1}^{e} = (1 - 0) = 1$
