Lösungen zu Übungen – Umkehrung der Kettenregel
Aufgabe 1
(a) Beurteile die folgende Aussage:
Wenn man die $e$-Funktion ableitet, dan erhält man wieder die $e$-Funktion. Hieraus ergibt sich, dass $F(x) = e^{2x}$ eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f(x) = e^{2x}$ ist.
(b) Ergänze die folgende Regel:
Wenn $f(x) = e^{k \cdot x}$ (mit einer reellen Zahl $k \neq 0$), dann ist $F(x) = \dots$ eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$.
(a) Die Aussage ist falsch, da $F'(x) = 2 e^{2x} \neq f(x)$. Bei der Ableitung der Stammfunktion muss man zusätzlich die Kettenregel beachten.
(b) Wenn $f(x) = e^{k \cdot x}$ (mit einer reellen Zahl $k \neq 0$), dann ist $F(x) = \frac{1}{k} e^{k \cdot x} + c$ eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$.
Aufgabe 2
Bestimme jeweils die Stammfunktionen.
| Ausgangsfunktion | Stammfunktionen | |
|---|---|---|
| (a) | $f(x) = \cos(4x)$ | $F(x) = $ |
| (b) | $f(x) = e^{-2x}$ | $F(x) = $ |
| (c) | $f(x) = (4x+2)^4$ | $F(x) = $ |
| (d) | $f(x) = (2-x)^3$ | $F(x) = $ |
| (e) | $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} = (x-1)^{-2}$ | $F(x) = $ |
| (f) | $f(x) = \sqrt{2x} = (2x)^{\frac{1}{2}}$ | $F(x) = $ |
| (g) | $f(x) = \frac{1}{2x+2} = (2x+2)^{-1}$ | $F(x) = $ |
| Ausgangsfunktion | Stammfunktionen | |
|---|---|---|
| (a) | $f(x) = \cos(4x)$ | $F(x) = \frac{1}{4} \sin(4x) + c$ |
| (b) | $f(x) = e^{-2x}$ | $F(x) = \frac{1}{-2} e^{-2x} + c = -\frac{1}{2} e^{-2x} + c$ |
| (c) | $f(x) = (4x+2)^4$ | $F(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}(4x+2)^5 + c = \frac{1}{20} (4x+2)^5 + c$ |
| (d) | $f(x) = (2-x)^3$ | $F(x) = \frac{1}{-1} \cdot \frac{1}{4}(2-x)^4 + c = -\frac{1}{4} (2-x)^4 + c$ |
| (e) | $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} = (x-1)^{-2}$ | $F(x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{-1}(x-1)^{-1} + c = -(x-1)^{-1} + c = - \frac{1}{x-1} + c$ |
| (f) | $f(x) = \sqrt{2x} = (2x)^{\frac{1}{2}}$ | $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}(2x)^{\frac{3}{2}} + c = \frac{1}{3} (2x)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{(2x)^3} + c$ |
| (g) | $f(x) = \frac{1}{2x+2} = (2x+2)^{-1}$ | $F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x+2) + c$ |
Aufgabe 3
Eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion $f$ lautet $F(x) = \cos(\pi-x) + 2$. Wer hat die Ausgangsfunktion korrekt rekonstruiert? Begründe.
- A: $f(x) = -\sin(\pi-x) + 2$
- B: $f(x) = -\sin(\pi-x)$
- C: $f(x) = \sin(\pi-x)$
- D: $f(x) = \int F(x) \; dx = \frac{1}{-1} \sin(\pi-x) + c$
Die Ausgangsfunktion $f$ erhält man, indem man $F'(x)$ bestimmt. Es gilt:
$F'(x) = -\sin(\pi-x) \cdot (-1) = \sin(\pi-x)$
C. hat also die Ausgangsfunktion korrekt bestimmt.
Aufgabe 4
(a) Erkläre, warum man die Regel $\int g(ax+b) \; dx = \frac{1}{a} G(ax+b) + c$ bei der folgenden Funktion nicht anwenden kann.
$f(x) = e^{\frac{1}{2}x^2-1}$
(b) Erkläre, wie man die Stammfunktionen der folgenden Funktion durch Umkehrung der Kettenregel bestimmen kann:
$f(x) = x \cdot e^{\frac{1}{2}x^2-1}$
(c) Berstimme (analog zu (b)) die Stammfunktionen der folgenden Funktion:
$f(x) = x \cdot (\frac{1}{2}x^2-1)^3$
(a) Die Funktion $f(x) = e^{\frac{1}{2}x^2-1}$ hat nicht die Struktur $g(ax+b)$ mit einer äußeren Funktion $g$ und einer linearen ineren Funktion. Die Regel $\int g(ax+b) \; dx = \frac{1}{a} G(ax+b) + c$ ist daher nicht anwendbar.
(b) Mit $u(x) = e^x$ und $v(x) = \frac{1}{2}x^2-1$ erhält man:
$f(x) = x \cdot e^{\frac{1}{2}x^2-1} = \underbrace{e^{\frac{1}{2}x^2-1}}_{u'(v(x))} \cdot \underbrace{x}_{v'(x)}$
Für die Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion $f$ ergibt sich:
$F(x) = \underbrace{e^{\frac{1}{2}x^2-1}}_{u(v(x))} + c$
(c) Mit $u(x) = x^4$ und $v(x) = \frac{1}{2}x^2-1$ erhält man:
$f(x) = x \cdot (\frac{1}{2}x^2-1)^3 = \frac{1}{4} \cdot \underbrace{4(\tfrac{1}{2}x^2-1)^3}_{u'(v(x))} \cdot \underbrace{x}_{v'(x)}$
Für die Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion $f$ ergibt sich:
$F(x) = \frac{1}{4} \underbrace{(\tfrac{1}{2}x^2-1)^4}_{u(v(x))} + c$
Aufgabe 5
Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \sin(a x)$ mit einer reellen Zahl $a > 0$.
Zum Herunterladen: graph-sinus.ggb
Berechne den Inhalt der (farbig gekennzeichneten) Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse im Intervall von $0$ bis zur ersten positiven Nullstelle.
Die erste positive Nullstelle liegt an der Stelle $\frac{\pi}{a}$.
Mit der Stammfunktion $F(x) = -\frac{1}{a} \cos(ax)$ zur Ausgangsfunktion $f$ erhält man:
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{a}} \sin(a x) \; dx = \left[ -\frac{1}{a} \cos(ax) \right]_{0}^{\frac{\pi}{a}} = (-\frac{1}{a} \cos(\pi) - (-\frac{1}{a} \cos(0))) = \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$
