(a) Ergänze die Berechnungsschritte.

$\int \underbrace{x \cdot e^{-x}}_{u(x) \cdot v'(x)} \; dx = \underbrace{x \cdot (-e^{-x})}_{u(x) \cdot v(x)} - \int \underbrace{1 \cdot (-e^{-x})}_{u'(x) \cdot v(x)} \; dx = -x \cdot e^{-x} - e^{-x} - c$

(b) Erkläre, warum der folgende Ansatz ungünstig ist.

$\int \underbrace{x \cdot e^{-x}}_{u'(x) \cdot v(x)} \; dx = \underbrace{\frac{1}{2}x^2 \cdot e^{-x}}_{u(x) \cdot v(x)} - \int \underbrace{\frac{1}{2}x^2 \cdot (-e^{-x})}_{u(x) \cdot v'(x)} \; dx $

Mit diesem Ansatz erhält man kein vereinfachtes Restintegral.

Durch Ableiten erhält man:

$x \cos(x) = (x \sin(x))' + \sin(x)$

Mit der Produktregel der Differentialrechnung ergibt sich:

$(x \sin(x))' = \sin(x) + x \cos(x)$

Es gilt also:

$x \cos(x) = (x \sin(x))' - \sin(x)$

Hieraus folgt durch Aufleiten:

$\int x \cos(x) \; dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \; dx$

$\int \underbrace{x \cdot x}_{u(x) \cdot v'(x)} \; dx = \underbrace{x \cdot \tfrac{1}{2}x^2}_{u(x) \cdot v(x)} - \int \underbrace{1 \cdot \tfrac{1}{2}x^2}_{u'(x) \cdot v(x)} \; dx = \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}x^3 - c = \frac{1}{3}x^3 - c$

Man erhält durch Umkehren der Produktregel dasselbe Ergebnis wie mit der Potenzregel.

(a) Erkläre vorab, wie man durch Umkehren der Produkregel schrittweise zu den gesuchten Stammfunktionen gelangen kann.

• Durch partielle Integration kann man in einem ersten Schritt das Integral $\int x^3 \cdot e^x \; dx$ durch das einfachere Integral $\int x^2 \cdot e^x \; dx$ ersetzen.
• In einem zweiten Schritt kann man dann das Integral $\int x^2 \cdot e^x \; dx$ durch das einfachere Integral $\int x^1 \cdot e^x \; dx$ ersetzen.
• Im dritten Schritt kann man schließlich das Integral $\int x^1 \cdot e^x \; dx$ durch das einfachere Integral $\int x^0 \cdot e^x \; dx$ ersetzen.
• Das Integral $\int x^0 \cdot e^x \; dx = \int e^x \; dx$ kann man direkt auflösen und mit dem Ergebnis alle komplizierteren Integrale auswerten.

(b) Bei dem Vorgehen erhält man folgende Ergebnisse. Die Konstanten kann man auch anders darstellen.

• $\int x^0 \cdot e^x \; dx = e^x - c$
• $\int x^1 \cdot e^x \; dx = x \cdot e^x - e^x - c$
• $\int x^2 \cdot e^x \; dx = x^2 \cdot e^x - 2x \cdot e^x + 2e^x - c$
• $\int x^3 \cdot e^x \; dx = x^3 \cdot e^x - 3x^2 \cdot e^x + 3x \cdot e^x - 6e^x - c$

Es gilt:

$\int \sin(x) \cdot \sin(x) \; dx = \sin(x) \cdot (- \cos(x)) - \int \cos(x) \cdot (-\cos(x)) \; dx = -\sin(x) \cdot \cos(x) + \int \cos(x) \cdot \cos(x) \; dx$

Mit dem Zusammenhang $(\sin(x))^2 + (\cos(x))^2 = 1$ erhält man:

$\int \sin(x) \cdot \sin(x) \; dx = -\sin(x) \cdot \cos(x) + \int (1- \sin(x) \cdot \sin(x)) \; dx = -\sin(x) \cdot \cos(x) + \int 1 \; dx - \int \sin(x) \cdot \sin(x) \; dx = -\sin(x) \cdot \cos(x) + x + c_1 - \int \sin(x) \cdot \sin(x) \; dx $

Durch Umstellen erhält man:

$\int \sin(x) \cdot \sin(x) \; dx = \frac{1}{2}(x -\sin(x) \cdot \cos(x)) + c$

Wir bestimmen zunächst die $x$-Koordinate des Hochpunktes. Hierfür braucht man die Ableitung $f'(x)$. Mit der Produktregel erhält man:

$f'(x) = 2 e^{- \frac{1}{2}x} + 2x e^{- \frac{1}{2}x} \cdot (-\frac{1}{2}x) = 2 e^{- \frac{1}{2}x} - x e^{- \frac{1}{2}x}$

Durch Auswerten der notwendigen Bedingung $f'(x) = 0$ erhält man die $x$-Koordinate des (in der Abbildung zu sehenden) Hochpunktes:

$x_H = 2$

Das $f(0) = 0$ gilt, schneidet Graph $f$ die $x$-Achse im Koordinatenursprung. Den gesuchten Flächeninhalt erhält man mit dem folgenden Integral:

$\int\limits_{0}^{2} f(x) \; dx$

Um das Integral zu berechnen, bestimmt man zunächst eine Stammfunktion von $f$. Durch Umkehren der Produktregel erhält man:

$\int 2x e^{- \frac{1}{2}x} \; dx = 2x \cdot (-2)e^{- \frac{1}{2}x} - \int 2 \cdot (-2)e^{- \frac{1}{2}x} \; dx = -4x \cdot e^{- \frac{1}{2}x} -8e^{- \frac{1}{2}x} + c$

Mit der Stammfunktion zu $c = 0$ erhält man:

$\int\limits_{0}^{2} f(x) \; dx = \left[ -4x \cdot e^{- \frac{1}{2}x} -8e^{- \frac{1}{2}x} \right]_{0}^{2} = (-8 e^{-1} - 8e^{-1}) - (0 - 8) = -16e^{-1} + 8 \approx 2.11$