Lösungen zu Übungen – Mittelwert einer Funktion
Aufgabe 1
Bestimme für die Funktionen jeweils den Mittelwert im Intervall zur eingfärbten Fläche. Verdeutliche den Mittelwert mit einer Parallelen zur $x$-Achse.
| Graph mit eingefärbter Fläche | Funktionsgleichung | |
|---|---|---|
| (a) |
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$f(x) = x^2-2x$ |
| (b) |
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$f(x) = x^2 - x - 2$ |
| (c) |
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$f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^2 + 1$ |
| (d) |
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$f(x) = \frac{1}{3}x^3+2x^2+3x$ |
| Graph mit eingefärbter Fläche | Funktionsgleichung und Mittelwert | |
|---|---|---|
| (a) |
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$f(x) = x^2 - 2x$ $I = \int\limits_{-1}^{3} f(x) dx = \frac{4}{3}$ $\overline{f}_{[-1;3]} = \frac{1}{4} \cdot I = \frac{1}{3}$ |
| (b) |
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$f(x) = x^2 - x - 2$ $I = \int\limits_{-1}^{2} f(x) dx = -\frac{9}{2}$ $\overline{f}_{[-1;2]} = \frac{1}{3} \cdot I = -\frac{3}{2}$ |
| (c) |
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$f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^2 + 1$ $I = \int\limits_{-2}^{2} f(x) dx = \frac{8}{15}$ $\overline{f}_{[-2;2]} = \frac{1}{4} \cdot I = \frac{2}{15}$ |
| (d) |
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$f(x) = \frac{1}{3}x^3+2x^2+3x$ $I = \int\limits_{-3}^{1} f(x) dx = 0$ $\overline{f}_{[-3;1]} = \frac{1}{4} \cdot I = 0$ |
Aufgabe 2
Gesucht sind quadratische Funktionen, die im Intervall $[0; 1]$ den Mittelwert $0$ haben. Bestimme mindestens drei solche Funktionen.
Ansatz: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Bestimmung des Integrals: $I = \int\limits_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b + c$
Bestimmung des Mittelwerts: $\overline{f}_{[0;1]} = \frac{1}{1} \cdot I = \frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b + c$
Bedingung: $\overline{f}_{[0;1]} = 0$
Mögliche Lösungen:
- $a = 3; b = 0; c = -1$: $f(x) = 3x^2 - 1$
- $a = 3; b = -2; c = 0$: $f(x) = 3x^2 -2x$
- $a = 3; b = -1; c = -\frac{1}{2}$: $f(x) = 3x^2 -x -\frac{1}{2}$
Aufgabe 3
Betrachte lineare und konstante Funktionen vom Typ $f(x) = mx + c$. Im Applet kann man mit den Schiebereglern [$m$] und [$c$] die Graphen solcher Funktionen einstellen. Verdeutlicht wird auch der Mittelwert der eingestellten Funktion im Intervall $[a; b]$. Das Intervall $[a; b]$ kann man dabei mit den roten Punkten auf der $x$-Achse variieren.
Zum Herunterladen: mittelwertlinearefunktion.ggb
(a) Experimentiere mit dem Applet. Formuliere eine Vermutung, wie man den Mittelwert der jeweils betrachteten Funktion im Intervall $[a; b]$ direkt (ohne Integralberechnung) bestimmen kann. Beschreibe die Vermutung auch mit einer Formel:
$\overline{f}_{[a;b]} = f(\dots)$
(b) Überprüfe die Vermutung am Beispiel $f(x) = 0.5x + 2$ und dem Intervall $[1; 5]$. Bestimme den Mittelwert der Funktion $f$ im betrachteten Intervall und vergleiche das Ergebnis mit dem Funktionswert in der Mitte des Intervalls.
(c) Wenn du fit bist, dann zeige die Vermutung für eine beliebige Funktion $f$ vom Typ $f(x) = mx + c$ und ein beliebiges Intervall $[a; b]$. Bestimme den Mittelwert der Funktion $f$ in dem betrachteten Intervall und vergleiche das Ergebnis mit dem Funktionswert in der Mitte des Intervalls.
Tipp: $b^2 - a^2 = (b+a)(b-a)$
(a) Vermutung: Der Mittelwert der Funktion $f$ in einem Intervall $[a; b]$ entspricht dem Funktionswert in der Mitte des Intervalls:
$\overline{f}_{[a;b]} = f(\frac{a+b}{2})$
(b) $\overline{f}_{[1;5]} = \frac{1}{4} \int\limits_{1}^{5} f(x) dx = \frac{1}{4} [(0.25\cdot 5^2 + 2 \cdot 5) - (0.25 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1)] = 3.5 = 0.5 \cdot 3 + 2 = f(3)$
(c) $\overline{f}_{[a;b]} = \frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b} f(x) dx = \frac{1}{b-a} [(\frac{1}{2}mb^2 + cb) - (\frac{1}{2}ma^2 + ca)] = \frac{1}{b-a} [\frac{1}{2}m(b^2 - a^2) + c(b - a)] = \frac{1}{b-a} [\frac{1}{2}m (b + a)(b - a) + c (b - a)] = m\frac{b+a}{2} + c = f(\frac{a+b}{2})$
Aufgabe 4
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ sowie ein Intervall der Gestalt $[-a; a]$. Im Applet kann das Intervall mit den roten Punkt ⧫ auf der $x$-Achse variieren.
Zum Herunterladen: mittelwertquadratischefunktion.ggb
(a) Experimentiere mit dem Applet. Formuliere eine Vermutung, wie man den Mittelwert der jeweils betrachteten Funktion im Intervall $[a; b]$ direkt (ohne Integralberechnung) bestimmen kann. Benutze ggf. den [Tipp].
(b) Zeige mit einer Herleitung, dass die Vermutung stimmt.
(a) Vermutung: Der Mittelwert der Funktion $f$ in einem Intervall $[-a; a]$ entspricht dem dritten Teil des Funktionswerts an der Stelle $a$:
$\overline{f}_{[a;b]} = \frac{1}{3}a^2$
(b) $\overline{f}_{[-a;a]} = \frac{1}{2a} \int\limits_{-a}^{a} f(x) dx = \frac{1}{2a} [\frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{3}(-a)^3] = \frac{1}{2a} \cdot \frac{2}{3}a^3 = \frac{1}{3}a^2$
