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Erarbeitung – Ereignisse mit Augensummen

Ziele des Lernschritts:

Begriff des Wahrscheinlichkeitsmodells wiederholen
Werte von Zufallsvariablen als Ergebnisse in neuem Wahrscheinlichkeitsmodell verstehen (eher implizit, weil Zufallsvariablen nicht eingeführt werden)
Ereignisse: Definition und Rechnungen üben
Ereignisse intuitiv verknüpfen (noch ohne Mengenoperationen)

Das Spiel simulieren

Im Spiel werden zwei Standardwürfel geworfen. Die Wahrscheinlichkeiten für Augensummen dafür haben wir schon auf den vorherigen Seiten untersucht.

Die Augensummen haben wir bisher als Ereignisse $S_{2}, \dots, S_{12}$ aufgefasst. Wir können aber auch direkt ein Wahrscheinlichkeitsmodell auf Augensummen definieren:

Ergebnismenge: $Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}$

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

\begin{matrix} Passende Konstellationen der Würfel \\ P (2) & = & \placeholder [s 2] \frac{1}{36} & \wuerfel 11 \\ P (3) & = & \placeholder [s 3] \frac{\placeholder}{36} & \wuerfel 12 \wuerfel 21 \\ P (4) & = & \placeholder [s 4] \frac{\placeholder}{36} & \wuerfel 13 \wuerfel 22 \wuerfel 31 \\ P (5) & = & \placeholder [s 5] \frac{\placeholder}{36} & \wuerfel 14 \wuerfel 23 \wuerfel 32 \wuerfel 41 \\ P (6) & = & \placeholder [s 6] \frac{\placeholder}{36} & \wuerfel 15 \wuerfel 24 \wuerfel 33 \wuerfel 42 \wuerfel 51 \\ P (7) & = & \placeholder [s 7] \frac{\placeholder}{36} & \wuerfel 16 \wuerfel 25 \wuerfel 34 \wuerfel 43 \wuerfel 52 \wuerfel 61 \\ P (8) & = & \placeholder [s 8] \frac{\placeholder}{36} & \wuerfel 26 \wuerfel 35 \wuerfel 44 \wuerfel 53 \wuerfel 62 \\ P (9) & = & \placeholder [s 9] \frac{\placeholder}{36} & \wuerfel 36 \wuerfel 45 \wuerfel 54 \wuerfel 63 \\ P (10) & = & \placeholder [s 10] \frac{\placeholder}{36} & \wuerfel 46 \wuerfel 55 \wuerfel 64 \\ P (11) & = & \placeholder [s 11] \frac{\placeholder}{36} & \wuerfel 56 \wuerfel 65 \\ P (12) & = & \placeholder [s 12] \frac{\placeholder}{36} & \wuerfel 66 \end{matrix}

Aufgabe 1: Das beste Haus

Wir betrachten das gleiche Spielfeld wie im Einstieg.

Welches Haus hat die vielversprechendste Position? Dieser Frage wollen wir jetzt nachgehen.

Zum Herunterladen: catan.ggb

(a) Beschreibe für jedes Haus die passenden Augensummen als Ereignisse.

\begin{array}{ll} In Worten & Als Menge \\ Haus A erhält eine Ressource. & A = {\placeholder [h a u s - a]} \\ Haus B erhält eine Ressource. & B = {\placeholder [h a u s - b]} \\ Haus C erhält eine Ressource. & C = {\placeholder [h a u s - c]} \end{array}

(b) Berechne für jedes Haus die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Spielzug eine Ressource liefert. Kontrolliere die Wahrscheinlichkeiten mit empirischen Ergebnissen aus dem Applet.

\begin{aligned} P (A) & = \placeholder [w a h r s c h e i n l i c h k e i t - h a u s - a] \\ P (B) & = \placeholder [w a h r s c h e i n l i c h k e i t - h a u s - b] \placeholder + \dots = \placeholder \\ P (C) & = \placeholder [w a h r s c h e i n l i c h k e i t - h a u s - c] \placeholder + \dots = \placeholder \end{aligned}

(c) 👤👤 Ist eins der drei Häuser schon an einer optimalen Position? Gib eine bessere Position inklusive Rechnung an oder begründe, dass es keine bessere Position gibt. Teamarbeit bietet sich an, um Rechnungen aufzuteilen.

Tipp: Unabhängig von den konkreten Zahlenwerten auf den Spielfeldern lässt sich die Auswahl auf 18 Positionen eingrenzen.

Aufgabe 2: Ereignisse verknüpfen

Beschreibe die folgenden Konstellationen beim Würfeln als Ereignisse und berechne ihre Wahrscheinlichkeiten.

$\begin{matrix} \begin{array}{llll} In Worten & Als Menge & Wahrscheinlichkeit \\ Haus B und Haus C erhalten beide eine Ressource. & E_{1} = {\placeholder [m e n g e - e r e i g n i s - 1]} & P (E_{1}) = \placeholder [w a h r s c h e i n l i c h k e i t - e r e i g n i s - 1] \\ Haus B oder Haus C erhält eine Ressource. & E_{2} = {\placeholder [m e n g e - e r e i g n i s - 2]} & P (E_{2}) = \placeholder [w a h r s c h e i n l i c h k e i t - e r e i g n i s - 2] \\ Haus B erhält keine Ressource. & E_{3} = {\placeholder [m e n g e - e r e i g n i s - 3]} & P (E_{3}) = \placeholder [w a h r s c h e i n l i c h k e i t - e r e i g n i s - 3] \\ Haus B erhält eine Ressource, aber nicht Haus A. & E_{4} = {\placeholder [m e n g e - e r e i g n i s - 4]} & P (E_{4}) = \placeholder [w a h r s c h e i n l i c h k e i t - e r e i g n i s - 4] \\ Kein Haus erhält eine Ressource. & E_{5} = {\placeholder [m e n g e - e r e i g n i s - 5]} & P (E_{5}) = \placeholder [w a h r s c h e i n l i c h k e i t - e r e i g n i s - 5] \end{array} \\ Im Fall „oder“ dürfen auch beide Häuser eine Ressource erhalten. \end{matrix}$

Deine Eingabe von oben zur Referenz:

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Aufgabe 1: Das beste Haus

Aufgabe 2: Ereignisse verknüpfen

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