Erarbeitung – Ereignisse mit Augensummen

Das Spiel simulieren

Im Spiel werden zwei Standardwürfel geworfen. Die Wahrscheinlichkeiten für Augensummen haben wir dafür schon auf den vorherigen Seiten untersucht.

Die Augensummen haben wir bisher als Ereignisse $S_2, \dots, S_{12}$ aufgefasst. Wir können aber auch direkt ein Wahrscheinlichkeitsmodell auf Augensummen definieren:

Ergebnismenge: $\Omega = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

\begin{array} &&& \textit{Passende Konstellationen der Würfel} \\ P(2) &=& \placeholder[s2]{\frac{1}{36}} & \wuerfel{1}{1} \\ P(3) &=& \placeholder[s3]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{1}{2} \wuerfel{2}{1} \\ P(4) &=& \placeholder[s4]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{1}{3} \wuerfel{2}{2} \wuerfel{3}{1} \\ P(5) &=& \placeholder[s5]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{1}{4} \wuerfel{2}{3} \wuerfel{3}{2} \wuerfel{4}{1} \\ P(6) &=& \placeholder[s6]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{1}{5} \wuerfel{2}{4} \wuerfel{3}{3} \wuerfel{4}{2} \wuerfel{5}{1} \\ P(7) &=& \placeholder[s7]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{1}{6} \wuerfel{2}{5} \wuerfel{3}{4} \wuerfel{4}{3} \wuerfel{5}{2} \wuerfel{6}{1} \\ P(8) &=& \placeholder[s8]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{2}{6} \wuerfel{3}{5} \wuerfel{4}{4} \wuerfel{5}{3} \wuerfel{6}{2} \\ P(9) &=& \placeholder[s9]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{3}{6} \wuerfel{4}{5} \wuerfel{5}{4} \wuerfel{6}{3} \\ P(10) &=& \placeholder[s10]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{4}{6} \wuerfel{5}{5} \wuerfel{6}{4} \\ P(11) &=& \placeholder[s11]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{5}{6} \wuerfel{6}{5} \\ P(12) &=& \placeholder[s12]{\frac{\placeholder{}}{36}} & \wuerfel{6}{6} \\ \end{array}

Aufgabe 1: Das beste Haus

Wir betrachten das gleiche Spielfeld wie im Einstieg.

Welches Haus hat die vielversprechendste Position? Dieser Frage wollen wir jetzt nachgehen.

Zum Herunterladen: catan.ggb

(a) Beschreibe für jedes Haus die passenden Augensummen als Ereignisse.

\begin{array}{l@{\qquad}l} \textbf{In Worten} & \textbf{Als Menge} \\ \textit{Haus A erhält eine Ressource.} & A = \{\placeholder[haus-a]{}\} \\ \textit{Haus B erhält eine Ressource.} & B = \{\placeholder[haus-b]{}\} \\ \textit{Haus C erhält eine Ressource.} & C = \{\placeholder[haus-c]{}\} \end{array}

(b) Berechne für jedes Haus die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Spielzug eine Ressource liefert. Kontrolliere die Wahrscheinlichkeiten mit empirischen Ergebnissen aus dem Applet.

\begin{align*} P(A) &= \placeholder[wahrscheinlichkeit-haus-a]{} \\ P(B) &= \placeholder[wahrscheinlichkeit-haus-b]{\placeholder{} + \ldots = \placeholder{}} \\ P(C) &= \placeholder[wahrscheinlichkeit-haus-c]{\placeholder{} + \ldots = \placeholder{}} \end{align*}

(c) 👤👤 Ist eins der drei Häuser schon an einer optimalen Position? Gib eine bessere Position inklusive Rechnung an oder begründe, dass es keine bessere Position gibt. Teamarbeit bietet sich an, um Rechnungen aufzuteilen.

Aufgabe 2: Ereignisse verknüpfen

Beschreibe die folgenden Konstellationen beim Würfeln als Ereignisse und berechne ihre Wahrscheinlichkeiten.

\begin{multline} \begin{array}{l@{\qquad}lll} \textbf{In Worten} & \textbf{Als Menge} & \textbf{Wahrscheinlichkeit} \\ \textit{Haus B und Haus C erhalten beide eine Ressource.} & E_1 = \{\placeholder[menge-ereignis-1]{}\} & P(E_1) = \placeholder[wahrscheinlichkeit-ereignis-1]{} \\ \textit{Haus B oder Haus C erhält eine Ressource.} & E_2 = \{\placeholder[menge-ereignis-2]{}\} & P(E_2) = \placeholder[wahrscheinlichkeit-ereignis-2]{} \\ \textit{Haus B erhält keine Ressource.} & E_3 = \{\placeholder[menge-ereignis-3]{}\} & P(E_3) = \placeholder[wahrscheinlichkeit-ereignis-3]{} \\ \textit{Haus B erhält eine Ressource, aber nicht Haus A.} & E_4 = \{\placeholder[menge-ereignis-4]{}\} & P(E_4) = \placeholder[wahrscheinlichkeit-ereignis-4]{} \\ \textit{Kein Haus erhält eine Ressource.} & E_5 = \{\placeholder[menge-ereignis-5]{}\} & P(E_5) = \placeholder[wahrscheinlichkeit-ereignis-5]{} \end{array} \\ \\ \text{Im Fall „oder“ dürfen auch beide Häuser eine Ressource erhalten.} \end{multline}

Deine Eingabe von oben zur Referenz: