Vertiefung

Die Augensummen betrachten

Im letzten Abschnitt hast du die Wahrscheinlichkeiten von Augensummen mit Hilfe eines Simulationsapplets untersucht. Die erzielten Häufigkeiten liefern Schätzwerte für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Um gute Schätzwerte zu erhalten wird eine sehr große Anzahl von Wiederholungen gebraucht. Ziel der folgenden Überlegungen ist es, die gesuchten Wahrscheinlichkeiten auf einem anderen Weg zu bestimmen.

Aufgabe 1

Die möglichen Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten beim Zufallsexperiment „2 Würfel werfen und die Augenzahlen beobachten“ lassen sich sehr gut mit der folgenden Darstellung bestimmen.

	$\frac{1}{36}$	...
	...

(a) Deute zunächst den Eintrag $\frac{1}{36}$ zum Ergebnis $11$ (bzw. "roter Würfel eine 1 und orangefarbener Würfel eine 1") und begründe, warum diese Festlegung der Wahrscheinlichkeit hier Sinn macht.

(b) Ergänze die Einträge in den anderen Feldern.

Aufgabe 2

Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse beim Zufallsexperiment „2 Würfel werfen und die Augenzahlen beobachten“ lassen sich auch die Wahrscheinlichkeiten für vorgegebene Augensummen bestimmen.

(a) Betrachte das Ereignis „die Summe der Augenzahlen beträgt 2“. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dieses Ereignis ein? Mache einen Vorschlag.

(b) Ergänze in der folgenden Tabelle deine Vorschläge für die fehlenden Einträge. Beachte: Es gibt einige Kontrolleinträge.

Ereignis	zugehörige Ergebnisse	Wahrscheinlichkeit
$S_{2}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 2.	$S_{2}$: 11	$P(S_{2}) = \frac{1}{36}$
$S_{3}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 3.	$S_{3}$: ...	$P(S_{3}) = ...$
$S_{4}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 4.	$S_{4}$: 31, 22, 13	$P(S_{4}) = ...$
$S_{5}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 5.	$S_{5}$: ...	$P(S_{5}) = \frac{4}{36}$
$S_{6}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 6.	$S_{6}$: ...	$P(S_{6}) = ...$
$S_{7}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 7.	$S_{7}$: ...	$P(S_{7}) = ...$
$S_{8}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 8.	$S_{8}$: ...	$P(S_{8}) = ...$
$S_{9}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 9.	$S_{9}$: ...	$P(S_{9}) = ...$
$S_{10}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 10.	$S_{10}$: ...	$P(S_{10}) = ...$
$S_{11}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 11.	$S_{11}$: ...	$P(S_{11}) = ...$
$S_{12}$: Die Summe der Augenzahlen beträgt 12.	$S_{12}$: ...	$P(S_{12}) = ...$

Aufgabe 3

Bestimme analog die Wahrscheinlichkeiten für vorgegebene Augendifferenzen.

Ereignis	zugehörige Ergebnisse	Wahrscheinlichkeit
$D_{0}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 0.	$D_{0}$: 11, ...	$P(D_{0}) = ...$
$D_{1}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 1.	$D_{1}$: ...	$P(D_{1}) = ...$
$D_{2}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 2.	$D_{2}$: ...	$P(D_{2}) = ...$
$D_{3}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 3.	$D_{3}$: ...	$P(D_{3}) = ...$
$D_{4}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 4.	$D_{4}$: ...	$P(D_{4}) = ...$
$D_{5}$: Die Differenz der Augenzahlen beträgt 5.	$D_{5}$: ...	$P(D_{5}) = ...$

Aufgabe 4

(a) Betrachte die Summenvariante des Spiels. Der Spielstand beträgt 17 Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem nächsten Würfelwurf die 21 überschritten wird? Bestimme diese Wahrscheinlichkeit und dokumentiere deine Überlegungen.

(b) Betrachte die Differenzenvariante des Spiels. Der Spielstand beträgt 17 Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem nächsten Würfelwurf die 21 überschritten wird? Bestimme diese Wahrscheinlichkeit und dokumentiere deine Überlegungen.

(c) Betrachte die freie Variante des Spiels. Der Spielstand beträgt 18 Punkte. Sollte jetzt beim nächsten Würfelwurf auf die Summe oder die Differenz gesetzt werden? Beurteile die Spielchancen mit Hilfe geeigneter Wahrscheinlichkeiten.

Aufgabe 5

Betrachte die freie Variante des Spiels.

(a) Ist es sinnvoll bei dem ersten Würfelwurf immer auf die Summe oder immer auf die Differenz zu setzen? Begründe deine Antwort.

(b) Ab welchem Punktestand ist es sinnvoll nicht auf die Summe zu setzten, wenn die Wahrscheinlichkeit die Punktzahl 21 zu überschreiten kleiner als 10% sein soll? Begründe deine Antwort mit Hilfe geeigneter Wahrscheinlichkeiten.