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Strukturierung - Ereignisse

Einstieg - die Ausgangssituation klären

Im letzten Kapitel hast du dich bei der Analyse des 17-und-4-Spiels mit folgender Leitfrage beschäftigt:

Leitfrage

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Werfen von zwei Würfeln, eine bestimmte Augensumme (bzw. eine bestimmte Augendifferenz) zu erzielen?

Ausgehend von den Überlegungen zur Bearbeitung dieser Frage führen wir hier die gebräuchlichen Fachbegriffe ein und verallgemeinern das bereits intuitiv benutzte Verfahren.

Erarbeitung - Ereignisse beschreiben und ihre Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Wir betrachten das Werfen von zwei Standardwürfeln und beschreiben es mit dem folgenden Modell:

2-Würfel-Augen-Modell:

RealitätModell
Zufallsexperiment:
zwei Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten
Ergebnisse:
11: roter Würfel eine 1 und orangefarbener Würfel eine 1
12: roter Würfel eine 1 und orangefarbener Würfel eine 2
...
Ergebnismenge:
Ω={11,12,13,...,21,22,23,...,64,65,66}
Wahrscheinlichkeitsannahme:
Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(e)=136 für alle Ergebnisse e aus Ω

Aus den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse können direkt die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestimmt werden. In der folgenden Übersicht sind einige Resultate aus dem letzten Kapitel eingetragen.

Ereignisse im 2-Würfel-Augen-Modell:

RealitätModell
Ereignisse:
S2: die Summe der Augenzahlen beträgt 2
S3: die Summe der Augenzahlen beträgt 3
...
S12: die Summe der Augenzahlen beträgt 12
Ereignisse:
S2={11}
S3={12,21}
S4={...}
...
S12={...}
Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
P(S2)=136
P(S3)=...
P(S4)=...
...
P(S12)=...

Aufgabe 1

(a) Ergänze die Einträge im Modell. Nutze dabei deine Resultate aus dem letzten Kapitel.

(b) Erläutere anhand der gezeigten Modellbeschreibung, wie Ereignisse mathematisch beschrieben werden und wie (beim vorliegenden Zufallsexperiment) die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bestimmt werden.

Vertiefung - eine Variation des 2-Würfel-Augen-Modells betrachten

Wir betrachten hier das Zufallsexperiment „2 Pyramidenwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten“. Die Übersicht gibt Schätzungen der Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments an. Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse hier - im Gegensatz zum entsprechenden Zufallsexperiment mit den Standardwürfeln - nicht alle gleich sind. Wie sich diese Wahrscheinlichkeitswerte ergeben, wird im Kapitel Mehrstufige Zufallsexperimentegezeigt.

gelb 1gelb 2gelb 3gelb 4gelb 5gelb 6
rot 10.160.060.060.060.060.02
rot 20.060.02250.02250.02250.02250.0075
rot 30.060.02250.02250.02250.02250.0075
rot 40.060.02250.02250.02250.02250.0075
rot 50.060.02250.02250.02250.02250.0075
rot 60.020.00750.00750.00750.00750.0025

Aufgabe 2

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse für das Zufallsexperiment mit den Pyramidenwürfeln.

S2={11} bzw. die Summe der Augenzahlen beträgt 2
S3={12,21} bzw. die Summe der Augenzahlen beträgt 3
S9={36,45,54,63} bzw. die Summe der Augenzahlen beträgt 9

Aufgabe 3

Ergänze die folgenden verallgemeinernden Beschreibungen.

Ein Ereignis bei einem Zufallsexperiment wird mathematisch beschrieben ....

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem beliebigen Zufallsexperiment erhält man ...

Wenn die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse eines Zufallsexperiments alle gleich sind, dann kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auch so bestimmt werden: ...

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