Einstieg
Wissen reaktivieren
Die bisher betrachteten hinreichenden Kriterien für Extrempunkte basieren auf Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion $f'$. Mit dem folgenden Applet kann du dir die verschiedenen Situationen und Argumentationen nochmal klarmachen.
Zum Herunterladen: lokale_extrema_hoehere_ableitungen4.ggb
Aufgabe 1
In dieser Aufgabe reaktivierst du dein Wissen über bereits erarbeite Zusammenhänge zwischen Eingenschaften von Graph $f$ und Graph $f'$. Benutze die Ausgangseinstellungen des Applets. Die kannst du bei Bedarf mit dem Refreh-Button in der oberen rechten Ecke des Applets wiederherstellen.
Ergänze in der Tabelle die Einträge. Begründe auch kurz. Zur Kontrolle kannst du den Schieberegler $u_0 = 0.2$ einstellen und so Graph $f$ in einer kleinen Umgebung von $x$ anzeigen.
| Eigenschaft von $f'$ (hinreichende Bedingung) |
hieraus folgt | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|
| $f'$ hat an der Stelle $x = -2$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel. | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen ... |
| $f'$ hat an der Stelle $x = 2$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel. | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen ... |
| $f'$ hat an der Stelle $x = 0$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen ... |
Eine neue Ausgangssituation betrachten
Um einen Vorzeichenwechsel zu ermitteln, muss man neben der in Frage kommenden Stelle $x$ auch Ableitungswerte in einer Umgebung von $x$ berechnen. Vielleicht geht das auch noch besser? Interessant wäre, wenn man nur Information über Ableitungswerte an der Stelle $x$ für die Entscheidungen heranziehen müsste.
Zum Herunterladen: lokale_extrema_hoehere_ableitungen5.ggb
Aufgabe 2
Verdeutliche anhand des Applets, dass man nur mit dem Wissen, dass $f'(x) = 0$ gilt, nicht entscheiden kann, ob an der Stelle $x$ ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.
Das Ziel klären
Wir verändern die Ausgangssituation noch einmal. Vielleicht hilft es, wenn man Information über die 2. Ableitung an der Stelle $x$ für die Entscheidungen zusätzlich heranzieht.
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Wir verändern die Ausgangssituation noch einmal. Vielleicht hilft es, wenn man Information über die 2. Ableitung an der Stelle $x$ für die Entscheidungen zusätzlich heranzieht. Zu klären ist also folgende Frage:
Leitfrage
Kann man mit Hilfe geeigneter Information über Ableitungswerte an einer Stelle $x$ erschließen, ob eine Funktion an dieser Stelle einen Hoch- bzw. Tiefpunkt hat?
