Erarbeitung

Die 3. Ableitung berücksichtigen

Wir bearbeiten hier diese Frage:

Das folgende Applet hilft bei der Klärung dieser Frage.

Anleitung für das Applet

• Das Applet zeigt vier untereinander platzierte Koordinatensysteme – für die Ausgangsfunktion $f$ (ganz oben) und darunter für die Ableitungsfunktionen $f'$, $f''$ und $f'''$.
• Die Position des Punktes $P$ auf dem unsichtbaren Graph $f$ kann man mit dem Schieberegler $x$ ganz oben einstellen.
• Zum Punkt $P$ im oberen Koordinatensystem wird ein zugehöriger (blau dargestellter) Punkt $Q$ im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion $f'$, ein zugehöriger (grün dargestellter) Punkt $R$ im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion $f''$ erzeugt sowie ein zugehöriger (rot dargestellter) Punkt $S$ im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion $f'''$ erzeugt. Während $P$ den Funktionswert $f(x)$ an der Stelle $x$ veranschaulicht, verdeutlicht $Q$ die Ableitung $f'(x)$, $R$ die 2. Ableitung $f''(x)$ und $S$ die 3. Ableitung $f'''(x)$ an der Stelle $x$.
• Mit den Schiebereglern $u_0$, $u_1$, $u_2$ und $u_3$ kann man den Graph der jeweiligen Funktionen in der Umgebung ddes eingestellten $x$-Werts sichtbar machen.
• Die Schaltfächen auf der rechten Seite dienen dazu, eine vorgegebene Ausgangsfunktion auszuwählen. Voreingestellt ist die Funktion zum Beispiel 1.

Zum Herunterladen: wendepunkte_hoehere_ableitungen2.ggb

Aufgabe 1

Betrachte die im Applet voreingestelle Situation: Für die betrachtete Stelle $x$ gilt $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \text{ < } 0$. Ziel dieser Aufgabe ist es, hieraus Schlüsse zu ziehen.

(a) Mache dir zunächst Folgendes klar: Wir setzen voraus, dass der Graph der 3. Ableitungsfunktionen in einer kleinen Umgebung der Stelle $x$ keine Sprungstellen aufweist. Dann verläuft Graph $f'''$ in einer kleinen Umgebung von der Stelle $x$ unterhalb der $x$-Achse. Stelle zur Verdeutlichung den Schieberegler $u_3 = 0.2$ ein.

(b) Begründe mit dem Wissen aus (a), dass $f''$ dann an der Stelle $x$ einen $+/-$-Vorzeichenwechsel haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler $u_2 = 0.2$ einstellst.

(c) Begründe mit dem Wissen aus (b), dass $f'$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler $u_1 = 0.3$ einstellst.

(d) Begründe mit dem Wissen aus (c), dass $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler $u_0 = 0.4$ einstellst.

Aufgabe 2

(a) Betrachtete jetzt eine Stelle $x$ mit $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \text{ < } 0$. Gehe analog zu Aufgabe 1 vor und untersuche, ob man mit Hilfe dieser Information vorhersagen kann, ob Graph $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt hat.

(b) Betrachtete (in Beispiel 3) eine Stelle $x$ mit $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \text{ < } 0$. Welche Art von Wendepunkt liegt hier vor? Begründe.

(c) Betrachtete verschiedene Stellen $x$ mit $f''(x) = 0$ und $f'''(x) = 0$. Betrachte hierzu insbesondere die Stelle $x = 0$ in Beispiel 4 und Beispiel 5. Kann man mit Hilfe dieser Information vorhersagen, ob Graph $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt hat?

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Die gefundenen Zusammenhänge werden jetzt festgehalten.

Aufgabe 3

(a) Ergänze passende Eintrgäge in der Tabelle.

Eigenschaft von $f''$ und $f'''$ sowie $f'$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
$f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ ...
$f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ ...

(b) Formuliere die Zusammenhänge mit Wenn-Dann-Aussagen.

Aufgabe 5