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Übungen - Kriterien mit höheren Ableitungen

Aufgabe 1

Gegeben ist eine Tabelle mit Information über $f$, $f'$ und $f''$. Gesucht sind die Hoch- und Tiefpunkte von $f$.

Stelle	$f(x)$	$f'(x)$	$f''(x)$
$x = 0$	$0$	$0$	$12$
$x = 2$	$5.33$	$0$	$-4$
$x = 3$	$4.5$	$0$	$6$

Aufgabe 2

Gegeben ist eine Tabelle mit Information über $f$, $f'$ und $f''$. Gesucht sind die Hoch- und Tiefpunkte von $f$. Welche Schwierigkeit tritt hier bei der Klärung auf?

Stelle	$f(x)$	$f'(x)$	$f''(x)$
$x = -3$	$4.32$	$0$	$0$
$x = 0$	$0$	$0$	$0$
$x = 2$	$0.97$	$0$	$-4$
$x = 3$	$-0.68$	$0$	$19.44$

Gib zur Kontrolle den Funktionsterm $f(x) = \frac{1}{400}x^8 + \frac{1}{350}x^7 - \frac{1}{20}x^6 - \frac{9}{250}x^5 + \frac{27}{100}x^4 $ mit einem Bereich von $-3.5$ bis $3.5$ in den Plotter ein. Gleiche deine Ergebnisse mit dem Graphen ab. Diskutiere anhand dieses Beispiels die Nachteile des Kriteriums mit höheren Ableitungen.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb

Aufgabe 3

Die Tabelle zeigt Information (gerundete Werte) über die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{150}x^5 - \frac{8}{45} x^3$.

(a) Bestimme mit dieser Information folgende besondere Punkte von Graph $f$:

Schnittpunkte mit der $x$-Achse und der $y$-Achse
Hoch- und Tiefpunkte
Wendepunkte / Sattelpunkte

Beachte, dass die Tabelle auch Information enthält, die für die Bestimmung der besonderen Punkte nicht benötigt wird. Gib jeweils genau an, wie du (mit einem passenden Kriterium) argumentierst.

$x$	$-5.16$	$-4$	$-2.83$	$0$	$2.83$	$4$	$5.16$
$f(x)$	$0$	$4.55$	$2.82$	$0$	$-2.82$	$-4.55$	$0$
$f'(x)$	$9.48$	$0$	$-2.13$	$0$	$-2.13$	$0$	$9.48$
$f''(x)$	$-12.85$	$-4.27$	$0$	$0$	$0$	$4.27$	$12.85$
$f'''(x)$	$9.6$	$5.33$	$2.13$	$-1.07$	$2.13$	$5.33$	$9.6$

(b) Skizziere mit den Ergebnissen aus (a) den Graph von $f$.

Kontrolliere mit dem Funktionenplotter. Gib hierzu den Funktionsterm $f(x) = \frac{1}{150}x^5 - \frac{8}{45} x^3$ mit einem passenden Bereich (siehe Tabelle oben) in den Plotter ein.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb

Aufgabe 4

Die folgende Grafik zeigt Information über eine Funktion $f$ und ihre Ableitungen.

Deute jeweils den Verlauf von Graph f in einer Umgebung des eingezeichneten Punktes an.

Tipp: Beginne jeweils beim unteren Graphen. Im ersten Beispiel kann man ablesen, dass hier $f''(x) > 0$ gilt. Der Graph von $f'$ muss also in einem kleinen Bereich um $x$ steigen. Da $f'(x) = 0$ auch vorgegeben ist, muss an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel vorliegen. Mit diesem Wissen kann man zunächst den Graph von $f'$ in einem Bereich um $x$ andeuten. Weiter kann man schließen, dass $f$ an der betreffenden Stelle $x$ einen Tiefpunkt haben muss. Den kann man jetzt im obersten Koordinatensystem (mit einen kleinen Bogen) andeuten.

Aufgabe 5

Bestimme jeweils die Wendepunkte von $f$. Zur Kontrolle kannst du den Funktionenplotter oben benutzen.

(a) $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$

(b) $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - 2x^2$