Anwendung
Bestimmung von Wendepunkten mit höheren Ableitungen
Wir nutzen die hinreichenden Bedingungen mit höheren Ableitungen, um die Wendepunkte einer Funktion zu bestimmen.
Hierzu betrachten wir die Beispiele aus dem Applet aus dem vorherigen Abschnitt.
Aufgabe 1
Bestimme (ggf. arbeitsteilig) die Wendepunkte von $f$ mit Hilfe höherer Ableitungen. Gehe dabei folgendermaßen vor.
- Schritt 1: Bestimme zunächst mit Hilfe der 2. Ableitung die möglichen Wendestellen von $f$.
- Schritt 2: Entscheide mit Hilfe der 3. Ableitung, ob die möglichen Wendestellen tatsächlich zu Wendepunkten gehören. Beachte, dass
eventuell keine Entscheidung mit der 3. Ableitung möglich ist.
Entscheide zusätzlich mit der 1. Ableitung, ob ein Wendepunkte ein Sattelpunkt ist.
- Schritt 4: Bestimme für die ermittelten Wendepunkte die y-Koordinaten.
(a) Beispiel 1: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x - 1$
(b) Beispiel 2: $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{2}x^2 - 1$
(c) Beispiel 3: $f(x) = \frac{3}{224}x^5 - \frac{5}{28}x^3 - 1$
Nutze das Applet aus dem vorangehenden Abschnitt um die Ergebnisse zu überprüfen.
Kontrolle
Zum Herunterladen: wendepunkte_hoehere_ableitungen2.ggb
Aufgabe 2
Dokumentiere für eines der Beispiele alle Überlegungen zur Bestimmung der Hoch- und Tiefpunkte.
Kontrolle
Beispiel 3: $f(x) = \frac{3}{224}x^5 - \frac{5}{28}x^3 - 1$
Schritt 1: Die möglichen Wendestellen von $f$ mit Hilfe von $f''$ bestimmen
Bestimmung von $f'(x)$:
$f'(x) = \frac{15}{224}x^4 - \frac{15}{28}x^2$
$f''(x) = \frac{15}{56}x^3 - \frac{15}{14}x$
Bestimmung der Nullstellen von $f''(x)$:
$f''(x) = 0$
$\frac{15}{56}x^3 - \frac{15}{14}x = 0$
$x\cdot (\frac{15}{56}x^2 - \frac{15}{14}) = 0$
$x = 0$ oder $\frac{15}{56}x^2 - \frac{15}{14} = 0$
$x = 0$ oder $x^2 = 4$
$x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$
Mögliche Wendestellen von $f$:
$x = 0$; $x = -2$; $x = 2$
Schritt 2: Die möglichen Wendestellen von $f$ mit Hilfe von $f'''$ überprüfen
Bestimmung von $f'''(x)$:
$f'''(x) = \frac{45}{56}x^2 - \frac{15}{14}$
Bestimmung von $f'''(x)$ für die möglichen Extremstellen:
| Stelle |
$f'(x)$ |
$f''(x)$ |
$f'''(x)$ |
Eigenschaft von $f$ |
| $x = -2$ |
$f'(-2) = -\frac{15}{14}$ |
$f''(-2) = 0$ |
$f'''(-2) = \frac{15}{7} \neq 0$ |
Wendepunkt; kein Sattelpunkt |
| $x = 0$ |
$f'(0) = 0$ |
$f''(0) = 0$ |
$f'''(0) = -\frac{15}{14} \neq 0$ |
Sattelpunkt |
| $x = 2$ |
$f'(2) = -\frac{15}{14}$ |
$f''(2) = 0$ |
$f'''(2) = \frac{15}{7} \neq 0$ |
Wendepunkt; kein Sattelpunkt |
Schritt 3: Die y-Koordinaten der ermittelten Hoch- und Tiefpunkte bestimmen
$x = -2$: $f(-2) = 0$
Der Wendepunkt hat die Koordinaten $(-2|0)$.
$x = 0$: $f(0) = -1$
Der Sattelpunkt hat die Koordinaten $(0|-1)$.
$x = 2$: $f(2) = -2$
Der Wendepunkt hat die Koordinaten $(2|-2)$.
