Anwendung

Bestimmung von Extrempunkten mit höheren Ableitungen

Wir nutzen die hinreichenden Bedingungen mit höheren Ableitungen, um die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion zu bestimmen. Hierzu betrachten wir die Beispiele aus dem Applet aus dem vorherigen Abschnitt.

Aufgabe 1

Bestimme (ggf. arbeitsteilig) die Hoch- und Tiefpunkte von $f$ mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung. Gehe dabei folgendermaßen vor.

• Schritt 1: Bestimme zunächst mit Hilfe der 1. Ableitung die möglichen Extremstellen von $f$.
• Schritt 2: Entscheide mit Hilfe der 2. Ableitung, ob die möglichen Extremstellen tatsächlich zu Hoch- bzw. Tiefpunkten gehören. Beachte, dass eventuell keine Entscheidung mit der 2. Ableitung möglich ist.
• Schritt 3: Bestimme für die ermittelten Hoch- und Tiefpunkte die y-Koordinaten.

(a) Beispiel 1: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 1$

(b) Beispiel 2: $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^2 + 1$

(c) Beispiel 3: $f(x) = \frac{9}{256}x^5 - \frac{15}{64}x^3 + 1$

(d) Beispiel 4: $f(x) = -\frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{3}x^3$

Nutze das Applet aus dem vorangehenden Abschnitt um die Ergebnisse zu überprüfen.

Kontrolle

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hoehere_ableitungen6.ggb

Aufgabe 2

Dokumentiere für eines der Beispiele alle Überlegungen zur Bestimmung der Hoch- und Tiefpunkte.

Kontrolle

Beispiel 1: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 1$

Schritt 1: Die möglichen Extremstellen von $f$ mit Hilfe von $f'$ bestimmen

Bestimmung von $f'(x)$:

$f'(x) = x^2 - 1$

Bestimmung der Nullstellen von $f'(x)$:

$f'(x) = 0$
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x = -1$ oder $x = 1$

Mögliche Extremstellen von $f$:

$x = -1$ und $x = 1$

Schritt 2: Die möglichen Extremstellen von $f$ mit Hilfe von $f''$ überprüfen

Bestimmung von $f''(x)$:

$f''(x) = 2x$

Bestimmung von $f''(x)$ für die möglichen Extremstellen:

Stelle	$f'(x)$	$f''(x)$	Eigenschaft von $f$
$x = -1$	$f'(-1) = 0$	$f''(-1) = -2 \text{ < } 0$	Hochpunkt
$x = 1$	$f'(1) = 0$	$f''(1) = 2 \text{ > } 0$	Tiefpunkt

Schritt 3: Die y-Koordinaten der ermittelten Hoch- und Tiefpunkte bestimmen

$x = -1$: $f(-1) = -\frac{1}{3}-(-1)+1 = \frac{5}{3}$

Der Hochpunkt hat die Koordinaten $(-1|\frac{2}{3})$.

$x = 1$: $f(1) = \frac{1}{3}-1+1 = \frac{1}{3}$

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(1|\frac{1}{3})$.