Zusammenfassung - eine hinreichende Bedingung für Extrempunkte mit höheren Ableitungen
Die 2. Ableitung berücksichtigen
Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ entsteht, wenn die 1. Ableitung $f'$ und die 2. Ableitung $f''$ an einer Stelle $x$ bekannt sind. Beachte, dass als Information nur die Lage des blauen Punktes auf Graph $f'$ und des grünen Punktes auf Graph $f''$ vorgegeben ist.
Anleitung für das Applet
- Mit den grün dargestellten Schiebereglern kann man variieren, wie Graph $f''$ durch den grünen Punkt auf Graph $f''$ verläuft und dabei beobachten, welche Auswirkungen das auf Graph $f$ an der betrachteten Stelle $x$ hat.
- Mit den schwarz dargestellten Schiebereglern kann man Graph $f$ nach oben und unten verschieben. Diese Verschiebungen haben keinen Einfluss auf die Argumentationen.
| Situation 1: $f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ < } 0$ | Situation 2: $f'(x) = 0$ und $f''(x) > 0$ | Situation 3: $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$ |
|---|---|---|
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Wir setzen voraus, dass der Graph der 2. Ableitungsfunktionen in einer kleinen Umgebung der Stelle $x$ keine Sprungstellen aufweist. Dann gilt: - $f'' \text{ < } 0$ in einer kleinen Umgebung von der Stelle $x$. - $f'$ ist streng monoton fallend in einer kleinen Umgebung von der Stelle $x$. - $f'$ hat an der Stelle $x$ einen $+/-$-Vorzeichenwechsel. - $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. |
Wir setzen voraus, dass der Graph der 2. Ableitungsfunktionen in einer kleinen Umgebung der Stelle $x$ keine Sprungstellen aufweist. Dann gilt: - $f'' \text{ > } 0$ in einer kleinen Umgebung von der Stelle $x$. - $f'$ ist streng monoton steigend in einer kleinen Umgebung von der Stelle $x$. - $f'$ hat an der Stelle $x$ einen $-/+$-Vorzeichenwechsel. - $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. |
Es ist keine allgemeine Aussage über einen Vorzeichenwechsel an der Stelle $x$ möglich. Es ist somit offen, ob an der Stelle $x$ ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt. |
Aus diesen (informellen) Überlegungen erhält man folgenden Zusammenhang.
Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte (mit höheren Ableitungen)
Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ < } 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) > 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
Beachte: Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$, dann kann man ohne weitere Information nicht entscheiden, ob an der Stelle $x$ ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.
Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Kriterium mit höheren Ableitungen
Wir betrachten wieder das folgende Beispiel.
Beispiel
geg.: $f(x) = \frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 0.5$
ges.: Hoch- und Tiefpunkte von $f$
Schritt 1: Die möglichen Extremstellen von $f$ mit Hilfe von $f'$ bestimmen
Bestimmung von $f'(x)$:
$f'(x) = x^2 - 1$
Bestimmung der Nullstellen von $f'(x)$:
$f'(x) = 0$
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x = -1$ oder $x = 1$
Mögliche Extremstellen von $f$:
$x = -1$ und $x = 1$
Schritt 2: Die möglichen Extremstellen von $f$ mit Hilfe von $f''$ überprüfen
Bestimmung von $f''(x)$:
$f''(x) = 2x$
Bestimmung von $f''(x)$ für die möglichen Extremstellen:
| Stelle | $f'(x)$ | $f''(x)$ | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $x = -1$ | $f'(-1) = 0$ | $f''(-1) = -2 \text{ < } 0$ | Hochpunkt |
| $x = 1$ | $f'(1) = 0$ | $f''(1) = 2 \text{ > } 0$ | Tiefpunkt |
Schritt 3: Die y-Koordinaten der ermittelten Hoch- und Tiefpunkte bestimmen
$x = -1$: $f(-1) = -\frac{1}{3}-(-1) = \frac{2}{3}$
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $(-1|\frac{2}{3})$.
$x = 1$: $f(1) = \frac{1}{3}-1 = -\frac{2}{3}$
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(1|-\frac{2}{3})$.
