Zusammenfassung - eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte mit höheren Ableitungen
Höhere Ableitungen berücksichtigen
Hinreichende Bedingungen für Wendepunkte erhält man, wenn man entsprechende Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte überträgt.
| Eigenschaft von $f''$ und $f'''$ (hinreichende Bedingung) |
$\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f'$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f$ |
| $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$ | $\Rightarrow$ |
$f'$ hat an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt |
$\Rightarrow$ |
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt |
Mit dem Applet kannst du dir die Zusammenhänge nochmal klarmachen. Wir nutzen hier, dass wir $f''$ in einem kleinen Intervall um $x$ fast linear ist.
Anleitung für das Applet
- Mit dem Applet kann man erkunden, wie der Graph der Ausgangsfunktion $f$ an einer Stelle $x$ von Eigenschaften der Ableitungen an dieser Stelle abhängt.
- Hier wird vorausgesetzt, dass $f''(x) = 0$ gilt. Der grüne Punkt auf der $x$-Achse ist also gesetzt.
- Mit dem roten Schieregler kann man $f'''(x)$ variieren. Von besonderem Interesse sind die Fälle $f'''(x) \text{ < } 0$ und $f'''(x) \text{ > } 0$. Wenn $f'''(x) \text{ < } 0$ gilt, dann ist $f''$ in einer kleinen Umgebung von $x$ streng monoton fallend. Der grün dargestellte Graph wird hier vereinfachend als linear dargestellt. Entsprechend ist $f''$ in einer kleinen Umgebung von $x$ streng monoton steigend, wenn $f'''(x) \text{ < } 0$ gilt. Wir setzen hier jeweils voraus, dass Graph $f'''$ keine Sprungstellen aufweist.
- An der Stelle $x$ entsteht somit für $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$ bei $f'$ ein Extrempunkt und bei $f$ ein Wendepunkt.
- Mit dem blauen Schieberegler kann man die Position des Extrempunktes von $f'$ verändern. Das beeinflusst dann die genaue Ausformung des Wendepunkts.
- Mit dem schwarzen Schieberegler kann man schließlich die Position des Wendepunktes nach oben und unten verschieben.
Zum Herunterladen: wendepunktehoehereableitungen.ggb
Aus diesen (informellen) Überlegungen erhält man folgenden Zusammenhang.
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte (mit höheren Ableitungen):
Wenn $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
Wenn $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$ und wenn zusätzlich $f'(x) = 0$ gilt, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.
Bestimmung von Wendepunkten mit dem Kriterium mit höheren Ableitungen
Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.
Beispiel
geg.: $f(x) = \frac{1}{324}x^4 - \frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{2}x + 2$
ges.: Wendepunkte von $f$
Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb
Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen
Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f''$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Wendepunkt vorliegen.
Die Ableitungsfunktion $f''(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln. Es gilt:
$f'(x) = \frac{1}{81}x^3 - \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{2}x$
$f''(x) = \frac{1}{27}x^2 - \frac{2}{9}x$
Zur Bestimmung der Nullstellen von $f''$ muss die Bedingung $f''(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:
$f''(x) = x \cdot (\frac{1}{27}x - \frac{2}{9})$
Aus dieser Produktdarstellung von $f''(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:
- $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $\frac{1}{27}x - \frac{2}{9} = 0$
- $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = 6$
Die kritischen Stellen für Wendepunkte sind demnach $x = 0$ und $x = 6$. Ob an diesen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen, lässt sich ohne weitere Informationen nicht klären.
Schritt 2: Die dritte Ableitung zur Entscheidung nutzen
Zuerst wird die Ableitungsfunktion $f'''$ bestimmt. Es gilt:
$f'''(x) = \frac{2}{27}x - \frac{2}{9}$
Wir nutzen jetzt die 3. Ableitung $f'''$, um Entscheidungen darüber zu treffen, ob an den Nullstellen von $f''$ Wendepunkte vorliegen.
| Stelle | $f''(x)$ | $f'''(x)$ | Eigenschaft von $f$ |
| $x = 0$ | $f''(0) = 0$ | $f'''(0) = -2/9 \neq 0$ | Wendepunkt |
| $x = 6$ | $f''(6) = 0$ | $f'''(6) = 2/9 \neq 0$ | Wendepunkt |
Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen
Man weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.
Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.
$f(0) = 2$: Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(0|2)$.
$f(6) = 1$: Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(6|1)$.
Schritt 4: Die Steigung im Wendepunkt bestimmen
Um zu entscheiden, ob die Wendepunkte Sattelpunkte sind, berechnen wir die Steigungen in den Wendepunkten.
Wendepunkt $(0|2)$: Es gilt $f'(0) = 1/2$. Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.
Wendepunkt $(6|1)$: Es gilt $f'(6) \approx -0.83$. Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.
