Zielsetzung

Eine Gewinnfunktion analysieren

In realen Betrieben tritt immer wieder die folgende Situation auf: Der erwartete Gewinn eines Betriebes, der eine bestimmte Ware produziert, lässt sich mit einer Gewinnfunktion $g$ beschreiben. Die Funktion $g$ beschreibt den erwarteten Gewinn in Abhängigkeit von der Menge der produzierten Waren.

Beispiel:

$g(x) = -x^3+9.3 x^2+21.6 x-87$ (wobei $0 \leq x \leq 12$ gelten soll)

Wenn der Betrieb $x$ Mengeneinheiten der Teile produziert, dann erwirtschaftet der Betrieb voraussichtlich einen Gewinn von $g(x)$ Geldeinheiten. Eine Mengeneinheit beträgt hier 1000 Teile, eine Geldeinheit 1000 €.

Betriebe wollen ihre Gewinne maximieren. Das Problem besteht also darin, den $x$-Wert zu bestimmen, bei dem $g(x)$ maximal wird (und zusätzlich diesen maximalen Gewinn $g(x)$ zu bestimmen).

Aufgabe 1

Mit einem Funktionenplotter lässt sich das Problem schnell lösen, oder? Teste selbst, wo die Schwierigkeit hier liegt.

Zum Herunterladen: gewinnfunktion1.ggb

Aufgabe 2

Mit dem in Aufgabe 1 bereitgestellten Plotter lässt sich der $x$-Wert zum maximalen Gewinn nicht gut ermitteln. Löse das Problem, indem du eine Wertetabelle zur Funktion $g$ erstellst und den Graph der Gewinnfunktion mit einer geeigneten Achsenskalierung zeichnest.

Das Ziel festlegen

Die beiden Aufgaben zeigen, dass es ungenau oder auch sehr aufwendig sein kann, den maximalen Wert einer Funktion in einem Intervall zu bestimmen. Günstig wäre, wenn man geeignete Rechenverfahren zur Lösung des Maximierungsproblems hätte. Ziel der folgenden Abschnitte ist es, solche Rechenverfahren zu entwickeln.