Notwendige Bedingung für Wendepunkte

Einen Zusammenhang präzise formulieren

Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f^{\prime }$ unf $f^{″}$ in einem bestimmten Bereich verlaufen. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um Graph $f^{\prime }$ und Graph $f^{″}$ zu erzeugen.

Situation 1	Situation 2	Situation 3	Situation 4
$f$ hat ...	...	...	...
$f^{\prime }$ hat	...	...	...
$f^{″}$ hat	...	...	...

Aufgabe 1

Ergänze in der Tabelle in den unteren Zeilen die folgenden Aussagen, so dass sie zur jeweiligen Situation passen. Beachte, dass einige Aussagen mehrfach verwendet werden müssen.

• $f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
• $f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
• $f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
• $f^{″}$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Aufgabe 2

Mit dem Wissen über Hoch- und Tiefpunkte kann man jetzt eine notwendige Bedingung für Wendepunkte formulieren. Ergänze hierzu die Einträge in der Tabelle.

Eigenschaft von $f$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{\prime }$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{″}$ (notwendige Bedingung)
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ ...	$\Rightarrow$	$f^{″}$ hat an der Stelle $x$ ...

Aufgabe 3

Formuliere die notwendige Bedingung für Wendepunkte auch als Wenn-Dann-Aussage.

Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt hat, dann ...

Aufgabe 4

Übertrage die gefundene notwendige Bedingung in den Wissensspeicher.