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Bestimmung von Wendepunkten mit höheren Ableitungen

Die Ausgangssituation

Wir betrachten folgendes Problem.

geg.: $f (x) = \frac{1}{324} x^{4} - \frac{5}{81} x^{3} + \frac{8}{27} x^{2} - \frac{7}{162} x + \frac{109}{81}$

ges.: Wendepunkte von $f$

Der Graph von $f$ lässt vermuten, dass $f$ genau zwei Wendepunkte hat.

Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb

Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen

Die Wendepunkte von $f$ (bzw. die Hoch- und Tiefpunkte von $f^{'}$ ) liegen an den Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{″}$ . Diese Nullstellen müssen zunächst bestimmt werden.

Aufgabe 1

Bestimme $f^{″} (x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f^{″} (x) = \frac{1}{27} x^{2} - \frac{10}{27} x + \frac{16}{27}$

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen von $f^{″} (x)$ - z.B. mit dem folgenden Gleichungstool.

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb

Gib den Funktionsterm von $f^{″} (x)$ in das Eingabefeld der Hilfsfunktion $h (x)$ ein. Aktiviere dann den Button [Nullstellen der Funktion].

Schritt 2: Die dritte Ableitung zur Entscheidung nutzen

Wir nutzen das folgende hinreichende Kriterium: Wenn $f^{″} (x) = 0$ und $f^{‴} (x) \neq 0$ , dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.

Aufgabe 3

Bestimme zunächst $f^{‴} (x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f^{‴} (x) = \frac{2}{27} x - \frac{10}{27}$

Aufgabe 4

Benutze die 3. Ableitung

f^{‴}

, um Entscheidungen darüber zu treffen, ob an den Nullstellen von

f^{″}

Wendepunkte vorliegen. Ergänze hierzu die Einträge in der Tabelle.

Stelle	$f^{″} (x)$	$f^{‴} (x)$	Eigenschaft von $f$
$x = 2$	$f^{″} (2) = 0$	$f^{‴} (2) = - 2 / 9 \neq 0$	Wendepunkt
$x = 8$

Schritt 3: Die $y$ -Koordinaten bestimmen

Du weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$ -Koordinaten dieser Punkte.

Aufgabe 5

Bestimme die $y$ -Koordinaten der Sattelpunkte. Setze hierzu den jeweiligen $x$ -Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Zur Berechnung der $f (x)$ -Werte kann du deinen Taschenrechner oder das folgende Applet oben (mit den passenden Eingaben) nutzen.

Kontrolliere deine Ergebnisse am gezeigten Graph oben.

Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb

Aufgabe 6

Notiere dir die gewählte Vorgehensweise im Wissensspeicher bzw. ergänze deine Notizen von der vorherigen Seite.

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